Застосування статистичних критеріїв під час вирішення завдань виявлення радіотехніці

У статті розглянуто основи статистичної обробки сигналів та методи їхньої оптимальної обробки* на тлі шуму.

*Під оптимальною обробкою в радіолокації розуміють таку операцію над вхідною реалізацією**, що призводить до підвищення ймовірності правильного виявлення корисного сигналу, як правило, відомої форми, за умови наявності у вхідній реалізації шуму у вигляді випадкового процесу з відомим або невідомим законом розподілу.

**Процес спостерігається на вході приймача. Строго кажучи, назвати його «Вхідний сигнал» не можна, оскільки теоретично зв'язки «Шум» і «Сигнал» — антоніми.

Основним завданням радіотехніки є прийом, передача та обробка інформації з використанням як переносника – радіосигналу. Головна вимога до радіотехнічних систем – отримання своєчасної та достовірної інформації від джерела до споживача. Однак цьому заважає фізика принципів роботи прийомопередаючих пристроїв і середовища поширення сигналу, суть якої полягає у флюктуації фізичних параметрів системи і випадковим значенням сигналу, що приймається, має шумову складову, що також відноситься до стохастичним процесам.

На даний момент, найефективніший спосіб розрізнення корисних сигналів на тлі шумів і перешкод є оптимальна обробка, що реалізується, як правило, порівнянням вхідної реалізації, що приймається, з апріорно відомою формою корисного сигналу. При цьому шуми, які за своєю природою процес слабокорельований, роблять менший внесок у величину, що показує ступінь цього порівняння і називається коефіцієнтом кореляції. Таким чином, будь-яке завдання виявлення зводиться до перевірки щонайменше двох гіпотез. Загалом завдання виявлення складається з двох гіпотез: H_0 – сигнал відсутній на вході приймальногопристрою, H_1 – сигнал є присутнім на вході приймального пристрою. Різні алгоритми виявлення забезпечують різну можливість правильного виявлення P при різних інших статистичних параметрах. Для порівняння ефективності алгоритмів виявлення існують критерії, оскільки обробляються імовірнісні величини, то характер цих критеріїв статистичний. Тобто критерій можна визначити як мірило порівняння.

Статистичні критерії виявлення

Більшість алгоритмів виявлення радіолокаційних цілей включають наступні етапи:

Прийом вхідної реалізації
Формування порога на основі апріорної чи апостеріорної інформації.
Оптимальна фільтрація вхідної реалізації
Ухвалення рішення про наявність сигналу/мети

При цьому черговість прийому вхідної реалізації та формування порога залежить безпосередньо від типу алгоритму. Алгоритми, що формують поріг на основі апостеріорної інформації про прийняту вхідну реалізацію називають адаптивними [1]. Критерій вибирається емпірично, виходячи з типу завдання. Наприклад: при виборі місця роботи зазвичай розглядають два критерії:

Максимуму ставлення зароблених грошей до витраченої сили.
Максимуму задоволення від роботи.

На жаль, сучасні реалії ставлять у пріоритет такого фахівця, навички якого дозволяли б якнайшвидше випустити продукцію та максимізувати прибуток компанії. І найчастіше другий критерій або відкидається, або за аналізу ситуації йому присвоюється низький пріоритет. Показник, у разі, визначальний пріоритет критеріїв, називається його потужністю.

У математичній статистиці потужність критерію визначається, як ймовірність не припуститися помилки другогороду після ухвалення рішення. У нашому випадку помилка другого роду - це не влаштується на оптимальну для себе роботу, в загальному випадку це хибне прийняття за істину події відповідного гіпотезі H_0.

Зрозуміло, універсальних критеріїв немає. Так, наприклад, критерій, що має найбільшу потужність, у вирішенні одного завдання, у вирішенні іншого може виявитися найгіршим за цим показником.

Критерій мінімального середнього ризику (критерій Байєса)

Рис.1 Графік розподілу умовної щільності ймовірності наявності W(UA=1) та відсутності W(UA=0) з ймовірностями помилок

Нехай A = 1 відповідає наявності сигналу s(t), а A = 0 – його відсутності. Багато рішень d вироджується в два: d_0 →A=1 і d_1→A=0. При розв'язанні задачі бінарного виявлення завдання еквівалентне перевірці гіпотези H_1 про те, що А = 1, при альтернативній гіпотезі H_0 про те, що А = 0, а функція втрат перетворюється на квадратну матрицю:

Таким чином, умовний ризик при A = 0 дорівнює r_0 = C_00 P + C_01 P = C_00 (1-P) + C_01 P, а при A = 1 дорівнює r_1 = C_10 P + C_11 P = C_10 (1-P) + C_11 P, де P – ймовірність правильного виявлення, а P – ймовірність помилкової тривоги.

Середній ризик визначається як r = qr_0 + pr_1, де q - апріорна ймовірність відсутності сигналу, а p - апріорна ймовірність присутності сигналу і визначає середні втрати при помилковій тривозі та пропуску мети [2]. Наприклад: при використанні такого критерію для виставлення порога спрацьовування пожежної сигналізації, вартість ризику при помилковій тривозі – виклик пожежної служби, а при пропуску – вартість речей у квартирі або офісі, що згоріла.

На рис.1 проілюстровані графіки розподілу щільності ймовірності за наявності та відсутності сигналу, також виділені зони, площа яких чисельно дорівнюєймовірностей помилок при ухваленні рішення. Зважаючи на стохастичну природу явищ, що розглядаються в даному прикладі, розподіли мають ненульову дисперсію. Згідно з критерієм мінімального середнього ризику кращим алгоритмом виявлення сигналу буде той, у якого величина r буде мінімальна [2].

Критерій максимуму апостеріорної ймовірності (максимальної правдоподібності)

Цей критерій виходить із критерію мінімального середнього ризику за умови, що втрати при скоєнні помилки обернено пропорційні ймовірності їх здійснення C_01=1/P, C_10=1/P. У цьому поріг оптимального виявника виставляється в такий спосіб, щоб мінімізувати суму ймовірностей помилок P_ош=P+P (див. рис.2).

Рис.2 Графік розподілу умовної щільності ймовірності наявності W(UA=1) та відсутності W(UA=0) з ймовірністю помилки

Двопороговий критерій Вальда

У випадках, коли велику роль відіграє час спостереження за процесом, наприклад, за наявності декількох каналів і одного виявника або кругового огляду РЛС, застосовують критерій послідовної перевірки гіпотез Вальда також відомий під назвою двопороговий.

Рис.3 Графік розподілу умовної щільності ймовірності наявності W(UA=1) та відсутності W(UA=0) з ймовірністю правильного виявлення та вірогідністю помилкової тривоги

За цим критерієм область визначення ймовірності ділиться на три підобласті, що розділяються двома порогами, що визначаються ймовірностями правильного виявлення та помилкової тривоги (див. рис 3): Критерій Вальда є оптимальним у сенсі мінімізації середнього часу спостереження за великою кількістю експериментів [4]. Оскільки найбільш доцільним для радіолокації є скорочення тривалості процедури виявлення, сучасні реалії ведуть додедалі активнішого використання цього критерію [5].

Критерій Неймана-Пірсона

Великим мінусом критеріїв Байєсовського класу є необхідність апріорного знання елементів матриці втрат. Наприклад: під час пропуску ворожого бомбардувальника на союзну територію вартість ризиків не піддається обчисленню.

У критерії Неймана Пірсона фіксується час виявлення. Оптимальним буде алгоритм з максимальною ймовірністю правильного виявлення P, за умови, що ймовірність помилкової тривоги P не перевищує заданої величини [6].

Зважаючи на те, що критерій Неймана-Пірсона не вимагає знання апріорних ймовірностей ситуацій A = 1 і A = 0, у радіолокації його використовують одним з основних [5].

Висновок

При розробці виявників дуже важливо усвідомлено вибирати критерій оптимальності, адже, як уже згадувалося раніше, кожен критерій має максимальну потужність у певній ситуації і застосування інших може призвести до небажаних наслідків.

Список використаних джерел:

Хардкорна конфа за С++. Ми запрошуємо лише профі.