Завдання математичних олімпіад
Розбір класичної математичної гри
На столі лежать 25 сірників. Два гравці по черзі можуть брати 1, 2, 3 чи 4 сірники. Виграє той, хто забирає останній сірник. Хто виграє за правильної гри? Вирішити те саме завдання, якщо гравці можуть брати 1, 3 або 6 сірників.
Перший варіант гри є грою Баші з максимальним ходом, рівним 4. Аналізуватимемо гру «з кінця». Якщо залишається 1, 2, 3 або 4 сірники, то той гравець, чия черга ходу, забирає їх та виграє. Якщо залишається 5 сірників, то скільки сірників не візьми, другий гравець забирає інші і виграє. Отже, потрібно постаратися залишити супернику 5 сірників після свого ходу. Це можна зробити, маючи від 6 до 9 сірників на столі під час свого ходу.
Далі знаходимо, якщо на столі залишається 10 сірників, то гравець, який робить хід програє, оскільки, скільки б він не взяв, противник своїм ходом зможе залишити йому 5 сірників. Далі, аналогічно визначаємо, що програшними для гравця, що робить хід, є сірники, рівні 15, 20 і 25.
Оскільки спочатку сірників 25, то рішення таке: виграє другий гравець, якщо завжди буде своїм ходом залишати першому число сірників, кратне 5-ти.
І в загальному випадку: якщо у грі Баші гравці можуть робити ходи від 1 до k, то для перемоги потрібно залишати супернику кратне (k+1) кількість сірників. І якщо початкова кількість також кратна (k+1), то виграє другий гравець, а якщо ні – то перший.
Друга гра в завданні набагато цікавіша. На її прикладі можна навчитися знаходити виграшну стратегію практично для будь-якої математичної гри.
Усього в грі може утворитися 26 позицій: від 25 до 0 сірників на столі. Побудуємо таблицю з 26 стовпців (це зручно робити на листках уклітинку)