Завдання про брехунів
сторінка 1Завдання про брехунів
«У цій книзі рівно два невірні твердження».
«У цій книзі рівно сто невірних тверджень».
Яке з цих тверджень правильне?
- Коля, Вася та Сергійко гостювали влітку у бабусі. Одного разу один із хлопчиків ненароком розбив улюблену бабусину чашку. На питання, хто розбив чашку, вони дали такі відповіді:
Вася: 3) «Сергій не розбивав»; 4) «Чашку розбив Коля».
Коля: 5) "Я не розбивав"; 6) «Чашку розбив Сергій».
Бабуся знала, що один із її онуків, назвемо його правдивим, обидва рази сказав правду; другий, назвемо його жартівником, обидва рази сказав неправду; третій, назвемо його хитруном, один раз сказав правду, а другий раз – неправду. Назвіть імена правдивого, жартівника та хитруна. Хто із онуків розбив чашку?
- Альоша, Боря та Гриша знайшли в землі старовинну посудину. Розглядаючи дивовижну знахідку, кожен висловив два припущення.
- Альоша: «Це посудина грецька і виготовлена у V столітті».
- Боря: «Це фінікійська посудина і виготовлена в III столітті».
- Гриша: «Це посудина не грецька і виготовлена в IV столітті».
- Віктор, Роман, Леонід та Сергій зайняли на олімпіаді з інформатики чотири перші місця. Коли їх запитали про розподіл місць, вони дали три відповіді:
- Сергій – перший, Роман – другий;
- Сергій – другий, Віктор – третій;
- Леонід – другий, Віктор – четвертий.
- Маємо три твердження: 1) Вадим хоче бути агрономом; 2) Сергій не хоче бути агрономом; 3) Михайло не хоче бути економістом. Нехай правильне твердження 1, тоді правильне і твердження 2. Але за умовою завдання вірним може бути лише одне твердження. Отже, твердження 1 помилкове, тобто Вадим не хоче бути агрономом. Відповідно до умови завдання, у цьому випадку одне із тверджень 2 і 3 має бути хибним. Якщо припустити, що правильне твердження 2, а твердження 3 не так, то отримуємо, що ніхто не хоче бути агрономом – суперечність умові. Якщо правильне твердження 3, а твердження 2 неправильне, то суперечності немає, отримуємо: Вадим хоче бути економістом, Сергій – агрономом, Михайло – трактористом.
- Ні.
- Олександра.
- У Алексєєва – «5», у Васильєва – «4», у Сергєєва – «3».
- У твердженнях не буде суперечності лише в тому випадку, коли істинно висловлювання Микули Селяниновича, а решта висловлювань помилкові. Переможцем є Добриня Микитович.
- Ни лицар, ні брехун не можуть сказати: «Я брехун» (висловивши подібне твердження, лицар збрехав би, а брехун промовив би істину). Отже, А, ким би він не був, не міг сказати про себе, що він брехун. Тому В, стверджуючи, ніби А назвав себе брехуном, свідомо брехав. Значить, В – брехун. А оскільки С сказав, що В брехав, коли той дійсно брехав, то С прорік істину. Отже, С – лицар. Таким чином, В – брехун, а З – лицар. (Встановити, ким був А, неможливо.)
- Якщо тубільець - абориген, то він правдивий і його відповідь "абориген". Якщо тубільець є прибульцем, він брехливий і його відповідь теж «абориген». Отже, провідник передав відповідь без спотворення, тому належить до племені аборигенів.
- Ким би не був перший старий, він відповів, що він абориген (див. задачу 7). Отже, другий старий збрехав; він є прибульцем. Третій старий сказав правду; він абориген.
- Якби дзвонили з А, то на запитання: Де? відповіли б: "У місті А". З В також не могли дзвонити, тому що обидва твердження: «У нас пожежа» та «У місті В» є в цій ситуації істинними чи хибними одночасно, а жителі В говорять правду та брехню по черзі. Отже, дзвонили з міста Б. Але оскільки там завжди говорять неправду, то пожежа не в них і не в місті В. Отже, пожежа в А. У місто А й має виїхати пожежна машина.
- Припустимо, що перше твердження є вірним. Отже, серед 99 тверджень, що залишилися, лише одне невірне, а всі інші вірні. Але будь-яке з тверджень, що залишилися, суперечить першому, оскільки, наприклад, у другому стверджується, що невірних тверджень рівно два, в третьому - рівно три і т. д. Провівши такі ж міркування до 98-го твердження включно, дійдемо такого ж висновку. Якщо ж вірне 99-е твердження, це означає, що невірних тверджень рівно 99, тобто усе, крім 99-го: 1,2, . 98 і 100. Не може бути вірним твердження 100-те, тому що в ньому йдеться про те, що всі 100 тверджень, а значить і саме 100-те, невірні. Отже, вірним є 99 твердження.
- Спробуємо одразу визначити, хто з онуків розбив чашку. Якщо це зробив Сергій, його заява 1 – хибно, а 2 – справедливо; у Васі обидві заяви помилкові; у Колі – обидва справедливі. Це відповідає нагоді, коли Сергій – хитрун, Вася – жартівник, Коля – справедливий. Перевіримо, чи немає інших варіантів рішення. Припустимо, що чашку розбив Вася. У цьому випадку Сергій один раз збрехав (2) і одного разу сказав правду (1); Коля також один раз збрехав (6) та один разсказав правду (5), що суперечить умові завдання. Якщо чашку розбив Коля, то вірні відповіді 1-4, що суперечить умові завдання. Отже, чашку розбив Сергій.
- Посудина фінікійська, виготовлена у V столітті.
- Сергій – перший, Леонід – другий, Віктор – третій, Роман – четвертий.