Зірчастий багатогранник Вікіпедія
Зоряний багатогранник(зіркове тіло) - це невипуклий багатогранник, грані якого перетинаються між собою. Як і у незоряних багатогранників, грані попарно з'єднуються в ребрах (при цьому внутрішні лінії перетину не вважаються ребрами).
Зоряною формою багатогранниканазивається багатогранник, отриманий шляхом продовження граней даного багатогранника через ребра до їх наступного перетину з іншими гранями по нових ребрах.
Правильні зірчасті багатогранники- це зірчасті багатогранники, гранями яких є однакові (конгруентні) правильні або зірчасті багатокутники. На відміну від п'яти класичних правильних багатогранників (платонових тіл), дані багатогранники не є опуклими тілами.
У 1811 році Огюстен Лу Коші встановив, що існують всього 4 правильні зірчасті тіла (вони називаються тілами Кеплера — Пуансо), які не є сполуками платонових і зірчастих тіл. До них відносяться відкриті в 1619 Йоганном Кеплером малий зірчастий додекаедр і великий зірчастий додекаедр, а також великий додекаедр і великий ікосаедр, відкриті в 1809 Луї Пуансо. Інші правильні зірчасті багатогранники є або сполуками платонових тіл, або сполуками тіл Кеплера Пуансо [1] .
Напівправильні зірчасті багатогранники- це зірчасті багатогранники, гранями яких є правильні або зірчасті багатокутники, але не обов'язково однакові. У цьому будова всіх вершин має бути однаковим (умова однорідності). Г. Коксетер, М. Лонге-Хіггінс і Дж. Міллер в 1954 перерахували 53 таких тіла і висунули гіпотезу про повноту свого списку [2] . Тільки значно пізніше у 1969 році Сопову С. П. вдалося довести, щопредставлений ними список багатогранників справді сповнений.
Багато форм зоряних багатогранників нагадує сама природа. Наприклад, сніжинки це плоскі проекції зірчастих багатогранників. Деякі молекули мають правильні структури об'ємних фігур.
На цих малюнках кожна грань для краси та наочності забарвлена власним кольором.
Однорідні багатогранники— правильні та напівправильні опуклі багатогранники (платонові та архімедові тіла); правильні та напівправильні зірчасті багатогранники разом називаються однорідними багатогранниками. У цих тіл усі грані є правильними багатокутниками (опуклими або зірчастими), а всі вершини однакові (тобто існують ортогональні перетворення багатогранника в себе, що переводять будь-яку вершину в будь-яку іншу). Існує рівно 75 однорідних багатогранників.
Тетраедр і гексаедр (куб) немає зірчастих форм, оскільки їх грані при продовженні через ребра більше перетинаються.
Існує тільки одна зіркова форма октаедра. Зоряний октаедр був відкритий Леонардо да Вінчі, потім майже через 100 років перевідкритий І. Кеплером і названий нимStella octangula- зірка восьмикутна. Звідси ця форма має і другу назву: "stella octangula Кеплера"; по суті, вона є з'єднанням двох тетраедрів.
Додекаедр має 3 зірчасті форми: малий зірчастий додекаедр, великий додекаедр, великий зірчастий додекаедр (зірковий великий додекаедр, завершальна форма). На відміну від октаедра, будь-яка з зірчастих формдодекаедране є з'єднанням платонових тіл, а утворює новий багатогранник.
У великого додекаедра гранями є п'ятикутники, які сходяться по п'ять у кожній з вершин. У малого зіркового і великого зіркового додекаедрів граніп'ятикутні зірки (пентаграми), які в першому випадку сходяться по 5, а в другому по 3 грані в одній вершині.
Вершини великого зіркового додекаедра збігаються з вершинами описаного додекаедра.
Ікосаедр має 59 зірчастих форм, з яких 32 мають повну, а 27 — неповну ікосаедральну симетрію, що було доведено Коксетером спільно з Дювалем, Флезером і Петрі із застосуванням правил обмеження, встановлених Дж. Міллером. Одна з цих зірчастих форм (20-а, модель 41 за Веннінджером), звана великим ікосаедром (див. малюнок), є одним з чотирьох правильних зірчастих багатогранників Кеплера - Пуансо. Його гранями є правильні трикутники, які сходяться у кожній вершині по п'ять; ця властивість є у великого ікосаедра загальним з ікосаедром.
Якщо кожну з граней продовжити необмежено, тіло буде оточене великою різноманітністю відсіків — частин простору, обмежених площинами граней. Всі зірчасті форми ікосаедра можна отримати додаванням до вихідного тіла таких відсіків. Крім самого ікосаедра, продовження його граней відокремлюють від простору 20 + 30 + 60 + 20 + 60 + 120 + 12 + 30 + 60 + 60 = 472 відсіку десяти різних форм і розмірів. Великий ікосаедр складається з усіх цих шматків, крім останніх шістдесяти. Наступна зіркова форма — завершальна.
Кубооктаедр має 4 зірчасті форми, що задовольняють обмеженням, введеним Міллером. Перша з них є з'єднанням куба та октаедра.
Ікосододекаедр має безліч зірчастих форм, перша з яких є з'єднання ікосаедра і додекаедра.
Ікосододекаедр має 32 грані, з яких 12 є правильними п'ятикутними гранями, а решта 20 — правильними трикутниками.
Під приведенням до зірчастої формирозуміється процес побудови багатогранника з іншого багаторанника шляхом розширення його граней. Для цього через межі вихідного багатогранника проводяться площини і розглядаються всілякі ребра, отримані в результаті перетину цих площин, і вибираються відповідні [3] .
Куб та тетраедр не дозволяють приведення до зірчастої форми. Октаедр має єдину побудову - зірчастий октаедр. Додекаедр дає три зірчасті форми.