Зміст Вступ
Функціональне рівняння - це рівняння, в якому невідомі функції (одна або кілька). Наприклад,
Деякі функціональні рівняння знайомі нам ще зі шкільного курсу цеf(x) = f(-x), f(-x) = f(x), f(x+T) = f(x),які задають такі властивості функцій, як парність, непарність, періодичність.
Завдання розв'язання функціональних рівнянь є одним із найстаріших у математичному аналізі. Вони з'явилися майже одночасно із зачатками теорії функцій. Перший справжній розквіт цієї дисципліни пов'язаний із проблемою паралелограма сил. Ще в 1769 Даламбер звів обґрунтування закону складання сил до вирішення функціонального рівняння
(1)
Те саме рівняння і з тією ж метою було розглянуто Пуассоном в 1804 при певному припущенні аналітичності, тим часом як в 1821 Коші (1789 - 1857) знайшов спільні рішення
цього рівняння, припускаючи лише безперервність f(x).
Навіть відома формула неевклідової геометрії для кута паралельності
було отримано М. І. Лобачевським (1792 – 1856) з функціонального рівняння
, (2)
яке він вирішив методом, аналогічним методом Коші. Це рівняння можна призвести до рівняння
Ряд геометричних завдань, що призводять до функціональних рівнянь, розглядав англійський математик Ч. Баббедж (1792-1871). Він вивчав, наприклад, періодичні криві другого порядку, що визначаються наступною властивістю для будь-якої пари точок кривої: якщо абсциса другої точки дорівнює ординаті першої, то ордината другої точки дорівнює абсцисі першої. Нехай така крива є графіком функціїу =f(х);(х,f(х))- довільна її точка. Тоді, згідно з умовою, точка з абсцисоюf(х)має ординату х. Отже,
Функціональному рівнянню (3) задовольняють, зокрема, функції:
,
Одними із найпростіших функціональних рівнянь є рівняння Коші
Ці рівняння Коші докладно вивчив у своєму (Курсі Аналізу), виданому 1821 року. Безперервні розв'язки цих чотирьох основних рівнянь мають відповідно вигляд
У класі розривних функцій можуть бути інші рішення. Рівняння (4) раніше розглядалося Лежандром і Гауссом при виведенні основної теореми проективної геометрії та при дослідженні гаусівського закону розподілу ймовірностей.
Функціональне рівняння (4) знову було застосовано Г. Дарбу до проблеми паралелограма сил і до основної теореми проективної геометрії; його головне досягнення – значне ослаблення припущень. Ми знаємо, що функціональне рівняння Коші (4) характеризує у класі безперервних функцій лінійну однорідну функціюf(x) =ax. Дарбу ж показав, що будь-яке рішення, безперервне хоча б в одній точці або обмежене зверху (або знизу) в довільно малому інтервалі, також повинно мати виглядf(x) =ax.Подальші результати щодо ослаблення припущень йшли швидко один за одним (інтегрованість, вимірність на безлічі позитивної міри і навіть мажорованість функцією, що вимірюється). Виникає питання: чи існує хоч одна якась адитивна функція (тобто задовольняє (4)), відмінна від лінійної однорідної. Знайти таку функцію справді нелегко! У ході роботи ми покажемо, що при раціональних x значеннях будь-якої адитивної функції повинні збігатися зі значеннями деякої лінійної однорідної функції, тобтоf(x) =axдля x
Багато функціональні рівняння не визначають конкретну функцію, а задають широкий клас функцій, тобто виражають властивість, що характеризує той чи інший клас функцій. Наприклад, функціональне рівнянняf(x+1) =f(x)характеризує клас функцій, що мають період 1, а рівнянняf(1+x) =f(1-x)- клас функцій, симетричних щодо прямоїx= 1, і т.д.
Взагалі, для функціональних рівнянь, які зводяться до диференціальним чи інтегральним, відомо мало загальних методів рішення. Далі будуть розглянуті деякі прийоми, що дозволяють вирішувати функціональні рівняння.