Значення ПОДВІЙНІ І ДУАЛЬНІ ЧИСЛА в математичній енциклопедії
Значення ПОДВІЙНІ І ДУАЛЬНІ ЧИСЛА в математичній енциклопедії:
-гіперкомплексні числавиду a+bе, де аі b-дійсні числа, і для подвійних чисел е 2 = + 1, а для дуальних чиселе 2 =0.Додавання Д. та буд. ч. визначається формулою
Збільшення подвійних чисел проводиться за формулою
а дуальних чисел - за формулою
Комплексні числа, подвійні числа та дуальні числа зв. також комплексними числами гіперболічного, еліптичного та параболічного типів відповідно. Іноді за допомогою цих чисел зображують рухи тривимірних просторів Лобачевського, Рімана та Евкліда (див., напр.,Гвинтове обчислення).
Як подвійні, так і дуальні числа утворюють двовимірні (з базою 1 та е) асоціативно-комутативні алгебри над полем дійсних чисел. На відміну від поля комплексних чисел ці алгебри містять дільники нуля, причому в алгебрі подвійних чисел всі дільники нуля мають вигляд алгебри подвійних чисел може бути розкладена в пряму суму двох полів дійсних чисел. З цією властивістю пов'язана ще одна назва подвійних чисел - комплексні числа, що розщеплюються. Зустрічається й інше найменування подвійних чисел – паракомплексні числа. Алгебра дуальних чисел розглядається як над полем Rдійсних чисел, а й над довільним полем чи коммутативним кільцем. Нехай A - комутативне кільце з одиниці та Помста А-модуль. Пряма сума А-модулів AM.щодо множення
є комутативною А-алгеброю і позначаєтьсяIA(М).Вона зв. алгеброю дуальних чисел щодо модуляМ. A-модуль Мототожнюється з ідеалом алгебриIA(М),службовцем ядром поповнюючого гомоморфізму
У цьому квадратМ 2даного ідеалу дорівнює нулю, аЯкщо А - регулярне кільце, то вірне і зворотне: якщо Вістка А-алгебра і М-ідеал у Втакой, що M 2 =0 ітоде Мрассматривается якА-модуль (див. [4]).
ПриМ=АалгебраIA(М)(позначається в цьому випадкуIA)ізоморфна факторалгебри алгебри багаточленів (Т)за ідеалом Т 2.Багато властивостей A-модуля Можна переформулювати як властивості алгебри1A(М),що дозволяє зводити багато питань про А-модулі до відповідних питань у теорії кілець (див. [2] ).
Лит.:[1] Мамфорд Д., Лекції про криві на поверхні алгебри, пер. з англ., М., 1968; [2] Fossum R., Trivial extensions of abelian categories, Ст, 1975; [3] Sсhemas en sroupes, I, B., 1970; [4] LichtenbaumS., Schlessinger M., "Trans. Amer. Math. Soc", 1967. v. 128 № 1, p. 41-70.