Золотий перетин, найбільший портал з навчання
Є речі, які не можна пояснити. Ось ви підходите до порожньої лавки і сідайте на неї. Де ви сядете посередині? Чи, може, з самого краю? Ні, швидше за все, не те й інше. Ви сядете так, що відношення однієї частини лави до іншої, щодо вашого тіла, дорівнюватиме приблизно 1,62. Проста річ абсолютно інстинктивна. Сідаючи на лаву, ви зробили «золотий перетин». Про золотий перетин знали ще у стародавньому Єгипті та Вавилоні, в Індії та Китаї. Великий Піфагор створив таємну школу, де вивчалася містична суть «золотого перерізу». Евклід застосував його, створюючи свою геометрію, а Фідій — безсмертні скульптури. Платон розповідав, що Всесвіт влаштований згідно з «золотим перерізом». А Арістотель знайшов відповідність «золотого перетину» етичному закону. Вищу гармонію «золотого перетину» проповідуватимуть Леонардо да Вінчі та Мікеланджело, адже краса та «золотий перетин» — це те саме. А християнські містики малюватимуть на стінах своїх монастирів пентаграми «золотого перетину», рятуючись від Диявола. При цьому вчені від Пачолі до Ейнштейна будуть шукати, але так і не знайдуть його точного значення. Нескінченний ряд після коми - 1,6180339887. Дивна, загадкова, незрозуміла річ: ця божественна пропорція містичним чином супроводжує все живе. Нежива природа не знає, що таке «золотий перетин». Але ви неодмінно побачите цю пропорцію і у вигинах морських раковин, і у формі квітів, і у вигляді жуків, і в красивому тілі людини. Все живе і все гарне — все підкоряється божественному закону, ім'я якому — золотий перетин. Так що ж таке "золотий перетин". Що це за ідеальне, божественне поєднання? Можливо, це закон краси? Чи таки він — містична таємниця? Науковий феномен чи етичний принцип? Відповідьневідомий досі. Точніше – ні, відомий. «Золотий перетин» — це і той, і другий, і третій. Тільки не окремо, а одночасно. І в цьому його справжня загадка, його велика таємниця.
Феномен золотого перерізу відомий людству дуже давно.
Його таємницю намагалися осмислити Платон, Евклід, Піфагор, Леонардо да Вінчі, Кеплер та багато інших найбільших мислителів людства. Вони нерозривно пов'язували золотий перетин із поняттям загальної гармонії, що пронизує всесвіт від мікросвіту до макрокосмосу. Класичними проявами золотого перерізу є предмети побуту, скульптура та архітектура [1, 2, 3, 4, 5], математика [6, 7, 8], музика [9 10, 11] та естетика [12, 13, 14 , 15, 16]. У попередньому столітті з розширенням галузі знань людства різко збільшилася кількість сфер, де спостерігається феномен золотої пропорції. Це біологія та зоологія [17, 18, 19], економіка [20, 21], психологія [22, 23, 24], кібернетика [7, 25], теорія складних систем [26, 27], і навіть геологія [28, 29] та астрономія [30].
Самоподібність та асиметрія
В основі організації живої матерії лежать принципи стійкості, самоорганізації та саморегулювання. У формоутворенні ці принципи виявляються як самоподібність. Самоподібність, ми розумітимемо, як деяку рекурсивну процедуру, що породжує пов'язану систему об'єктів. Яскравим прикладом таких систем є фрактали [38], одержувані як рекурсивні геометричні перетворення. Багато об'єктів живої природи мають яскраво виражену фрактальну структуру. Наприклад: дерева, морська капуста, легкі та кровоносні судини людини та інші.
Неважко довести, що «динамічний» прямокутник може мати співвідношення сторін лише рівнеα.
Операцію відсікання або додаванняквадрата можна робити багаторазово, і в результаті завжди буде виходити прямокутник із співвідношенням сторін рівнимα. "Динамічний" прямокутник також називають "живим". Приєднуючи до "живого" прямокутника "неживу" фігуру квадрат, отримаємо знову "живу". Це аналогія експансії біологічного життя на навколишній простір. Ця модель містить у собі як самоподібність, а й асиметрію. Під асиметрією ми розумітимемо не відсутність симетрії, а деяке порушення її. У квадраті, симетричній фігурі, всі сторони рівні, а в динамічному прямокутнику сторони рівні лише попарно. На думку засновника синергетики Г. Хагена [27], поява асиметрії викликає зниження ступеня симетрії простору, що є необхідною умовою самоорганізації, що призводить до появи внутрішніх сил, що є основою саморегуляції. Так, "нежива" фігура квадрат має 4 осі симетрії, а "динамічний" прямокутник тільки дві.
Пентагональна симетрія та асиметрія
Пентагональна симетрія зустрічається тільки в живій природі і є характерною рисою систем, що саморегулюються. Тоді як у кристалах – «неживих структурах», згідно з класичною кристалографією, можливі симетрії третього, четвертого та шостого порядків [39]. На відміну від класичних кристалів, квазікристали 5-го порядку, відкриті Деном Шехтманом, є "прикордонними" об'єктами на стику "живого" і "неживого". Чим глибше ми розумітимемо різницю між "живим" і "неживим", тим більше ми знаходитимемо "прикордонних" об'єктів. З усіх правильних фігур лише п'ятикутником не можна заповнити площину. Тобто з них не можна викласти паркет. Слід зазначити, що у поперечному перерізі подвійна спіраль ДНК - правильний п'ятикутник [40, 41].
Золотий перетин на прямій та пентагональна симетрія на площині є відображенням внутрішньої асиметрії самоподібних систем.
Золотий перетин у живописі
Портрет Монни Лізи (Джоконди) довгі роки привертає увагу дослідників, які виявив, що композиція малюнка заснована на золотих трикутниках, що є частинами правильного п'ятикутника. Існує багато версій про історію цього портрета. Ось одна з них. Якось Леонардо да Вінчі отримав замовлення від банкіра Франческо де ле Джокондо написати портрет молодої жінки, дружини банкіра, Монни Лізи. Жінка була красива, але у ній приваблювала простота і природність образу. Леонардо погодився написати портрет. Його модель була сумною та сумною, але Леонардо розповів їй казку, почувши яку, вона стала живою та цікавою.
Золотий переріз у математиці
У математиці пропорцією (лат. proportio) називають рівність двох відносин: a: b = c: d. Відрізок прямої АВ можна розділити на дві частини такими способами:
* на дві рівні частини - АВ: АС = АВ: ВС; * на дві нерівні частини у будь-якому відношенні (такі частини пропорції не утворюють); * таким чином, коли АВ: АС = АС: ВС.
Остання і є золотий поділ або поділ відрізка в крайньому та середньому відношенні.
Золотий переріз – це такий пропорційний поділ відрізка на нерівні частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини, як найбільша частина відноситься до меншої; або іншими словами, менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього
a : b = b : c або з : b = b : а.
Ряд ФібоначчіЗ історією золотого перерізу непрямим чином пов'язане ім'я італійськогоматематика ченця Леонардо з Пізи, відомого під ім'ям Фібоначчі (син Боначчі). Він багато подорожував Сходом, познайомив Європу з індійськими (арабськими) цифрами. У 1202 р. вийшов у світ його математична праця «Книга про абак» (рахунковій дошці), в якій були зібрані всі відомі на той час завдання. Одне із завдань гласила «Скільки пар кроликів за один рік від однієї пари народиться». Розмірковуючи на цю тему, Фібоначчі збудував такий ряд цифр:
Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 і т.д. відомий як ряд Фібоначчі. Особливість послідовності чисел у тому, кожен її член, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх 2 + 3 = 5; 3+5=8; 5+8=13, 8+13=21; 13 + 21 = 34 і т.д., а відношення суміжних чисел ряду наближається до відношення золотого поділу. Так, 21: 34 = 0,617, а 34: 55 = 0,618. Це відношення позначається символом Ф. Тільки це відношення – 0,618 : 0,382 – дає безперервний поділ відрізка прямої в золотій пропорції, збільшення його або зменшення до нескінченності, коли менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього.
Послідовність чисел 1,1,2,3,5,8,13,21. звана числами Фібоначчі та утворена за рекурентною формулою: (4) де n - натуральне число та початкові члени дорівнюють 1 і 1.