Зв’язок між енергетичними характеристиками вихідних та трансформованих аномалій, Усереднення та
Зв'язок між енергетичними характеристиками вихідних та трансформованих аномалій
Виразимо енергетичний (взаємний енергетичний) спектр або функцію кореляційної функцію трансформованої аномалії через енергетичний (взаємний енергетичний) спектр або кореляційну функцію вихідної аномалії.
Оскільки спектр трансформованої аномалії ST виражається через спектр S [див. рівність (2.5)], то на підставі формули (3.16) для енергетичного спектра трансформованої аномалії отримаємо
де Q - спектр вихідної аномалії, а Ф - частотна характеристика перетворення. З цієї формули можна отримати енергетичний спектр трансформованої аномалії, знаючи енергетичний спектр вихідної та частотну характеристику перетворення. Користуючись рівностями (2.5), (3.17), таке співвідношення можна написати і для взаємних енергетичних спектрів:
Що ж до кореляційних функцій (автокореляційної та взаємної кореляційної), то, як видно з рівностей (3.12), (3.15), (3.20), (3.80), (3.81), для отримання кореляційної функції трансформованої аномалії за відомою кореляційною функцією вихідної останню піддавати трансформації з частотною характеристикою Ф(u,v) 2 . Все це правильно і для двовимірного випадку. Розглянемо кілька окремих випадків.
1. Аналітичне продовження на рівень Наномалій в області верхнього або нижнього напівпростору
Як відомо, у цьому випадку
де знак "мінус" відноситься до аналітичного продовження в області верхнього напівпростору, знак "плюс" - в нижньому. Тоді
Звідси видно, що для отримання кореляційної функції, аналітично продовженої на рівень Н в області верхнього або нижнього напівпростору аномалії, потрібна кореляційна функція вихідноїаналітично продовжити до рівня 2Н. З цього положення для кореляційних функцій можна записати інтеграл Пуассона, замінивши у ньому значення Н значення 2Н.
2. Обчислення n-ї горизонтальної похідної
В цьому випадку (розглядаємо довільну по осі x)
Ф(u,v) 2 = u 2n = (-1) n (iu) 2n . (3.83)
Аналогічний результат отримаємо і за диференціювання за напрямком осі у. З останніх двох рівностей видно, що для отримання кореляційної функції аномалії n-ї похідної горизонтальної необхідно продиференціювати кореляційну функцію вихідної аномалії за напрямом відповідної осі 2n разів і помножити отриманий результат на (-1) n . Наприклад, для осі x вірна рівність
де B(о, з) та Bn(о, з) - автокореляційні функції вихідної аномалії та аномалії n-ї похідної за напрямом осі х.
3. Обчислення n-ї вертикальної похідної
Тому що для цього випадку
Ф(с) 2 = (-с) 2n . (3.86)
Звідси видно, що такий висновок, як і в попередньому випадку, тільки результат не потрібно множити на (-1) n . На підставі цього положення у двовимірному та тривимірному випадках для автокореляційних функцій отримаємо
де B(ф) та B n (ф) - автокореляційні функції вихідної аномалії та аномалії n-ї вертикальної похідної (тут враховано, що у вираз B(ф) глибина залягання аномального тіла входить у вигляді 2h).
У двовимірному випадку через рівність автокореляційних функцій аномалій горизонтальних та вертикальних похідних випливає, що
Усереднення та застосування обчислювальних схем
При усередненні (наприклад, по двох точках, на відрізку профілю, по колу, за площею кола) також правильна рівність
Тому у всіх цих випадках для отримання кореляційної функціїусередненою відповідним чином аномалії необхідно кореляційну функцію вихідної аномалії усереднити двічі.
Висновок застосування трансформації двічі відноситься і до перетворенням за допомогою різних обчислювальних схем, заснованих на усереднення по точках або по колу. Отримані співвідношення у двовимірному та тривимірному випадках дозволяють визначити автокореляційні функції та енергетичні спектри трансформованих аномалій через автокореляційну функцію та енергетичний спектр однієї вихідної аномалії, минаючи процес самої трансформації. Наведеними рівностями широко користуються практично (див., наприклад, роботи К.В. Гладкого, В.Н. Глазньова, В.Н. Луговен-ко та інших дослідників).