08. Приклади рівносильних множин
Наведені вище приклади та теореми показують, що встановити рівносильність різних множин далеко не просто. У цьому параграфі ми розглянемо приклади побудови бієкції між різними множинами. Буде наведено приклади доказів рівноваги ряду множин.
Приклад 1. Встановити бієкцію між відрізком [0, 1] та відрізком [а, в].
Рішення.Легко встановлюється біоактивність лінійного відображення x = (в – a)t + a відрізка [0, 1] на відрізок [а, в].
Приклад 2.Встановити бієкцію між інтервалом (0, 1) та інтервалом (–¥, +¥).
Рішення.Легко встановлюється біоактивність відображення x= ctg(pt) інтервалу (0, 1) на інтервал (–¥, +¥).
Завдання.Розглянути основні елементарні функції та знайти проміжки, на яких вони є біологічним відображенням.
Приклад 3.Побудувати біекцію між відрізком [0, 1] та інтервалом (0, 1).
Рішення.Розв'язання цього завдання засноване на незліченності розглянутих множин і теоремі 4 з параграфа 6. Ідея рішення полягає в тому, що з інтервалу (0, 1) виділяють деяку лічильну множину А. Потім до нього додають дві точки і . Знову отримана множина (позначимо його У [0, 1]), також є лічильним. Отже, множини А і В є рівносильними і існує бієкція f, що відображає B на A. Побудуємо тепер бієкцію відрізка [0, 1] на інтервал (0, 1) наступним чином:
Приклад 4.Побудувати біекцію між колом одиничного радіусу і відрізком [0, 1].
Схема рішення.Легко встановлюється біокція між точкою кола та кутом, що відповідає цій точці. Цим виходить біокція кола та напіввідрізка [0, 2p). Потім за схемою прикладу 3 будується биекция напіввідрізка [0, 2p) на відрізок [0, 1].
Приклад 5.Довести,що безліч усіх кіл на площині, радіуси яких раціональні числа та координати центру яких - раціональні числа, є лічильна безліч.
Рішення.Неважко бачити, що кожен елемент розглянутої множини може бути ототожнений з трійкою чисел (х, у, r), де (х, у) - координати центру кола, а r - її радіус. Цим між безліччю зазначених кіл і безліччю Q'Q'Q встановлюється бієкція. Але добуток лічильних множин лічильний (див. задачу в 6 параграфі) і, отже, наша множина також лічильна.
Приклад 6.Довести, що безліч точок розриву монотонної функції, заданої на відрізку [а, в], звичайно чи лічильно.