1 3. Доповнення множин
ла. Фактично , символи , , , I , U є лише стенографическими знаками ( до того ж загальноприйнятими в математиці ) скорочення і спрощення записи .
Більше того, використання зазначених термінів та знаків ріднить геометрію та алгебру, показує єдність математики, спільність її методів та термінології.
Завдання та вправи
26 . Доведіть, що для кінцевих множин справедлива рівність
А U В U C = А + В + C − А I В − А I C − B I C + А I В I C .
27 . На площині дано три точки A, B і C, що не лежать на одній прямій. Ці точки є серединами трьох сторін деякого опуклого чотирикутника. Вкажіть безліч точок, у яких може лежати середина четвертої сторони. Вкажіть безліч точок, у яких можуть лежати вершини цього чотирикутника.
28 . Дано три точки A, B і C. Через точку C проводяться всілякі прямі. Опишіть множину проекцій відрізка AB на ці прямі.
29 . Серед математиків кожен сьомий – філософ, а серед філософів кожен десятий – математик. Кого більше — філософів чи математиків?
30 . Доведіть , що якщо AI = C , то ( AI ) UC = ( AU ) I C .
1 3. Доповнення множин
Перш ніж переходити до розгляду наступної операції, зазначимо один «парадокс» теорії множин; його виявив відомий англійський математик Бертран Рассел.
Як правило, безлічі не містять себе як елемент. Наприклад, безліч A всіх цілих чисел містить як елементи лише цілі числа; оскільки саме A не є ціле число, а є безліч цілих чисел, то A себе як елемент не містить. Умовимося називати такі множини «ординарними». Але можуть існувати і такі множини, які містятьсебе як елемент. Розглянемо, наприклад, безліч S, визначене наступним чином: «S містить як елементи всі множини, які можна визначити за допомогою пропозиції, що містить менше двадцяти слів». Так як саме безліч S визначається пропозицією, що містить менше двадцяти слів, то виходить, що воно є елементом множини S. Такі множини назвемо «екстраординарними». Як би там не було , більшість множин
- Прості; спробуємо не мати справи з погано ведуть себе екстраординарними множинами і будемо розглядати тільки багато -
ство всіх ординарних множин. Позначимо його літерою C. Каж -
дий елемент множини C являє собою множину, притому ординарну множину. Але ось виникає питання: а саме безліч C - ординарне чи екстраординарне? Безперечно, воно має бути або тим, або іншим. Якщо C — ординарна множина, то вона містить себе як елемент, оскільки C визначено як множину всіх ординарних множин. Якщо справа йде так , значить C - екстраординарна множина , так як екстраординарними згідно з визначенням названі безлічі , що містять себе як елемент
Бесіда 3. Операції над безліччю
та. Виходить суперечність. Отже, C має бути екстраординарною множиною. Але тоді безліч C містить себе як елемент; оскільки C є екстраординарна множина, це суперечить визначенню C як множини всіх ординарних множин. Отже, бачимо, що лише одне припущення існування множини C внутрішньо суперечливо.
Описаний вище парадокс Рассела — не єдиний, виявлений теоретично множин. Ці парадокси дещо збентежили математиків, які були після успіхів.досягнутих Р . Кантором, у стані деякої ейфорії. Як же уникнути цих суперечностей? Очевидно, потрібно обмежуватися розглядом лише таких множин, які визначені чітко і без суперечностей (згадайте перукаря у п. 7). Вихід був знайдений у тому, що в кожному випадку, при кожному міркуванні розглядається деяка фіксована коректно певна множина U, звана універсальною множиною, і вивченню підлягають лише елементи (і підмножини) цієї універсальної множини. Якщо міркування не виходить за ці межі, воно не призводить до суперечності. У розмові 1 3 ми ще повернемося до питання про суперечливість і несуперечність, а поки що обмежимося сказаним.
Візьмемо, наприклад, таке міркування Кантора, яке справило на математиків дуже сильне враження. Алгебраїчних чисел, т.е. е. чисел , що є корінням рівнянь алгебри з раціональними коефіцієнтами , є лише лічильне безліч ( див . задачу 1 5 ) . У той же час безліч усіх дійсних чисел незліченна. Отже, крім алгебраїчних чисел існують дійсні числа, які не є алгебраїчними; їх називають трансцендентними. Більше того, трансцендентних чисел суттєво більше, ніж алгебраїчних: потужність багатьох трансцендентних чисел дорівнює. До того часу математики знайшли лише дуже небагато трансцендентних чисел, та й це було пов'язано із суттєвими труднощами. Кантор же подарував математичному світу цілий континуум трансцендентних чисел! Але чи коректно це канторівське міркування, чи немає в ньому суперечності? Безумовно коректно, оскільки можна взяти як U безліч усіх дійсних чисел, а всі міркування Кантора про незліченність (і застосування до трансцендентних)числам ) проводяться тільки всередині цієї універсальної множини , не виходячи за її межі .
Тепер можна перейти до розгляду наступної операції над множинами. Припускатимемо, що фіксовано деяку универсальное безліч U. У подальшій частині цього пункту слово «множина» означатиме деяку підмножину цієї універсальної множини U. Для будь-якої множини A умовимося через c A позначати доповнення множини A , т . е. безліч всіх елементів -
тов x U , які не належать множині A ( позначення c A походить від англійського слова complement — доповнення ).