1. Структура та симетрія кристалів.
Кристали - це тверді тіла, що характеризуються періодичним розташуванням атомів у просторі. Періодичність кристалів означає існування у них далекого ладу і відрізняє кристали від аморфних тіл, у яких є лише ближній порядок.
Періодичність - один із типів симетрії кристала. Симетрія означає можливість перетворення об'єкта, що поєднує його із собою. Кристали також можуть володіти симетрією по відношенню до обертань навколо виділених (періодично розташованих у просторі) осей обертання і відбиття в площинах відбиття. Просторове перетворення, що залишає кристал інваріантним, тобто перекладає кристал у собі, називається операцією симетрії. Обертання навколо осі, відображення в площині, а також інверсія щодо центру інверсії - точкові перетворення симетрії, оскільки вони залишають на місці хоча б одну точку кристала. Зміщення (або трансляція) кристала на період ґрат - те ж перетворення симетрії, але воно вже не відноситься до точкових перетворень. Точкові перетворення симетрії інакше називають власними перетвореннями. Є також невласні перетворення симетрії, що являють собою комбінацію обертання або відображення та трансляцію на відстань, кратну періоду решітки.
Кристали різного хімічного складу з погляду симетрії можуть бути еквівалентними, тобто можуть мати один і той же набор операцій симетрії. Ця обставина визначає можливість класифікації кристалів на кшталт їхньої симетрії. Різним кристалам можна поставити у відповідність одну і ту ж решітку, що має задану симетрію. Класифікація кристалів будується на основі ґрат Браве. Грати Браве можна визначити як безліч точок, координати яких задаються кінцямирадіус вектораr.
деa1,a2,a3- довільна трійка некомпланарних (що не лежать в одній площині) векторів,n1,n2,n3- довільні цілі числа. Векториa1,a2,a3називають векторами елементарних трансляцій. Грати перетворюється на трансляції на будь-який вектор, задовольняє співвідношенню (1). Слід зазначити, що з цієї решітки Браве вибір векторів елементарних трансляцій неоднозначний. З визначення решітки Браве випливає, що вектор елементарної трансляціїа1є найменшим періодом решітки в заданому напрямку. Як елементарні трансляції можуть бути обрані будь-які три некомпланарнихмінімальнихперіоду решітки.
У кожній решітці Браве можна виділити мінімальний обсяг простору, який при всіх трансляціях виду (1) заповнює весь простір, не перекриваючись із собою та не залишаючи проміжків. Такий обсяг називається примітивним осередком. Якщо ж ми виберемо обсяг, що заповнює весь простір в результаті не всіх, а якогось підмножини трансляцій, то такий обсяг буде просто елементарним осередком. Таким чином, примітивний осередок є елементарним осередком мінімального обсягу. З визначення примітивного осередку випливає, що на неї припадає рівно один вузол ґрат Браве. Ця обставина може бути корисною для перевірки того, чи являє собою обраний об'єм примітивний осередок чи ні.
Вибір примітивного осередку, як і вибір векторів елементарних трансляцій, неоднозначний. Найпростішим прикладом примітивного осередку може бути паралелепіпед, пробудований навекторні елементарні трансляції.
Важливу роль фізиці твердого тіла грає примітивна осередок Вигнера-Зейтца, яку визначають, як частину простору, розташовану до цієї точці решітки Браве ближче, ніж до інших точок решітки. Для побудови осередку Вигнера-Зейтца слід провести площини, перпендикулярні до відрізків прямих, що з'єднують точку решітки, обрану як центр, з іншими точками. Площини мають проходити через середини цих відрізків. Багатогранник, обмежений збудованими площинами, і буде осередком Вігнера-Зейтца. Істотно, що осередок Вигнера-Зейтца має всі елементи симетрії решітки Браве.
Кристал (кристалічну структуру) можна описати, якщо поставити йому у відповідність певні ґрати Браве і вказати розташування атомів в елементарному осередку. Сукупність цих атомів називається базисом. Базис може складатися з одного або кількох атомів. Так, у кремнії до складу базису входить два атоми Si, в кристалі GaAs - базис також двоатомний і представлений одним атомів Ga та одним атомів As. У складних органічних сполуках базис може включати кілька тисяч атомів. Взаємозв'язок між поняттями ґрат, базис, структура можна визначити так:
решітка + базис = кристалічна структура.
Вимога періодичності трансляційної інваріантності накладає суттєві обмеження на можливі кристалі точкові операції симетрії. Так, ідеально періодичному кристалі можуть існувати осі симетрії тільки 2, 3, 4 і 6 порядків і заборонено існування осі 5 порядку.
Браве показав, що з площин відбиття, чотирьох типів осей обертання, інверсії та трансляцій можна утворити 14 різних комбінацій. Цим 14 комбінаціям відповідає 14 типів ґрат. З математичної точкизору кожна така комбінація є групою (групою симетрії). При цьому, оскільки в групі присутні як елементи симетрії трансляції, група називається просторовою групою симетрії. Якщо трансляцію прибрати, то елементи, що залишилися, утворюють точкову групу. Усього точкових груп симетрії решіток Браве 7. Грати, що належать до цієї точкової групи, утворюють сингонію або систему. До кубічної сингонії відносяться прості кубічні (ПК), об'ємноцентровані кубічні (ОЦК) і гранецентровані кубічні решітки (ГЦК); до тетрагональної - проста тетрагональна та центрована тетрагональна; до ромбічної - проста, базоцентрована, об'ємноцентрована та гранецентрована ромбічні грати; до моноклинної - проста та базоцентрована моноклінні решітки. Три сингонії, що залишилися, містять по одному типу однойменних з ними решіток - триклінну, тригональну і гексагональну.