1 - UMKD_Fizicheskaya_elektronika_ch.3_Cvetkov - Lekcii - Lekciya

Адіабатичні інваріанти для руху частинок у магнітному полі

Інваріантність магнітного моменту частки в часі,інваріантність частинки в постійному в часі та неоднорідному в просторі магнітному підлогу, інваріантність величини vl

Рис.5.1. "Фазовий портрет" одновимірного осцилятора

Як відомо з механіки, будь-яка механічна система, що здійснює фінітний рух, наприклад, математичний маятник або вантаж, підвішений на пружинці, має траєкторію, що займає у фазовому просторі обмежену область (у найпростішому випадку одновимірного руху це площина узагальненого імпульсу і узагальненої координати, рис.5.1). Якщо енергія цієї системи зберігається, то траєкторія, що відповідає заданій енергії W, замкнута. Площа, що охоплюється цією траєкторією, очевидно, є точним інтегралом руху. Істотно, що наближене збереження цієї площі має місце й у тому випадку, коли енергія системи змінюється згодом під впливом будь-якого обурення (наприклад, слабкого тертя, чи зміни довжини маятника тощо), але це зміна повільне проти періодом необуренного руху . Тепер ця площа вже не є точним інтегралом руху і збереження має місце лише в середньому за періодом необуреного руху. У цьому випадку говорять про збереженняадіабатичного інваріанту. За розмірністю ця площа пропорційна добутку середньої за період енергії частки на величину цього періоду:

Тому, якщо за зміни будь-якого параметра системи період руху зменшується (наприклад, для математичного маятника період, як відомо, визначається співвідношенням

, іперіод зменшується із зменшенням довжини маятника), то її енергія в середньому зростає.

Принцип адіабатичної інваріантності знаходить важливі додатки до проблеми утримання плазми - за необхідністю траєкторії частинок мають бути фінітними. Розглянемо коротко деякі додатки цього принципу для випадку руху частинок у магнітному полі. .

Інваріантність магнітного моментучастки у часі

Якщо заряджена частка рухається в однорідному, але мінливому у часі магнітному полі, її ларморовский радіус і перпендикулярна швидкість змінюватимуться. Це відбувається тому, що індуковане мінливим магнітним полем електричне прискорюватиме (або уповільнювати) частинку.

Виберемо циліндричну систему координат так, щоб вектор напруженості магнітного поля був паралельний осі цієї системи (див. рис.5.2), тоді, де

- відповідний одиничний вектор.

Із закону індукції

Підставляючи тепер ці поля в рівняння Максвелла, що залишилися, виявляємо, що

Тому рівняння Максвелла задовольняються тотожно при виборі лінійної залежності напруженості магнітного поля від часу, так що:

де

- постійна величина (швидкість зміни поля), яка може бути як позитивною (поле зростає), так і негативною (поле зменшується);

- початкове значення поля.

Отримане рішення рівнянь Максвелла – точне, але дещо штучне: важко уявити собі ситуацію, коли магнітне поле наростає одразу у всьому просторі. На практиці часто використовують наближене рішення, вважаючи, що струми, що породжують магнітне поле, змінюються настільки повільно, що струмами зміщення (і, тим самим, хвильовим процесом встановлення поля) можназнехтувати. Тоді

Рис.5.3. Ілюстрація збереження поперечного адіабатичного інваріанту в слабко змінному, повільно осцилюючому поліВ=В0(1+cost);- ларморівська частота,0- початкове значення

ормули

наближено описують розподіл полів при довільній залежності (t), повільної на масштабах часуt

L/c, деL- розмір області, яку займає поле.

Для ілюстрації збереженнямагнітного моменту абопоперечного адіабатичного інваріантапри русі частинки в змінному магнітному полі обмежимося грубим наближенням, вважаючи, що радіальна швидкість тотожно дорівнює нулю та радіус орбітипостійний. У цьому наближенні рівняння руху зводяться до вигляду

і, як не важко перевірити, дають співвідношення

Це означає, що ставлення

Грубе наближення, використане вище, не обов'язково. Детальні розрахунки показують збереження в загальному випадку в умовах застосування адіабатичного наближення. Для ілюстрації «якості» збереження на рис.5.3 наведено результати точних чисельних розрахунків цього параметра для приватного виду осцилюючого поля.

нваріантністьчастки в постійному в часі та неоднорідному у просторі магнітному полі

Рис.5.4. Виштовхування зарядженої частки неоднорідним магнітним полем.

коли полеВпостійне в часі, але повільно змінюється у просторі, то при переході частинки зі слабкого поля в сильніше на неї діє сила (рис.5.4.):

; (5.1)

. (5.2)

Після перетворення вздовж траєкторії отримаємо

. (5.3)

Оскільки повнаенергія під час руху в магнітному полі зберігається

; (5.4)

що можливо, тільки якщо

Неточність, допущена під час виведення, у разі пов'язані з тим, що зміниВв перпендикулярному напрямі не враховані. Це припустимо лише за повільному зміні. Узагальнюючи рівняння (5.1) і (5.5), можна сказати, що магнітний момент являє собою адіабатичний інваріант руху зарядженої частинки в магнітному полі, що повільно змінюється.

Звідси можна зробити кілька цікавих висновків. Із цілком очевидних алгебраїчних викладок

слід, що магнітний потік, що пронизує ларморівський гурток, адіабатично постійний. Ця обставина призводить до висновку, що при зміні магнітного поля ларморівський радіус змінюється згідно із законом:

тобто значно повільніше, ніж у разі постійної поперечної швидкості.

тобто момент кількості руху частинки також залишається адіабатично постійним.

Розглянемо рух частинки у ящику з пружними стінками (рис.5.5). Нехай швидкість частинки, спрямована вздовж дна ящика, дорівнюєv,а одна зі стінок ящика рухається зі швидкістюU

Калькулятор

Сервіс безкоштовної оцінки вартості роботи

Заповніть заявку. Фахівці розрахують вартість вашої роботи
Розрахунок вартості прийде на пошту та по СМС

Номер вашої заявки

Зараз на пошту прийде автоматичний лист-підтвердження з інформацією про заявку.