11 клас

11 клас. Геометрія. Метод координат у просторі. Прямокутна система координат.

• Зміст
• Заняття
• Обговорення
• Про курс

Питання

Задай своє питання щодо цього матеріалу!

Поділися з друзями

Коментарі викладача

1. Введення

Якщо через точку Про просторі ми проведемо три перпендикулярні прямі, назвемо їх, виберемо напрямок, позначимо одиничні відрізки, ми отримаємопрямокутну систему координат у просторі. Осі координат називаються так: Ох - вісь абсцис, Оy - вісь ординат іОz - вісь аплікат. Уся система координат позначається – Oxyz. Таким чином, з'являються три координатні площини: Оxy, Оxz, Оyz.

Наведемо приклад побудови точки В(4;3;5) у прямокутній системі координат (див. рис. 1).

Мал. 1. Побудова точки B у просторі

Перша координата точки B – 4 тому відкладаємо на Ox 4, проводимо пряму паралельно осі Oy до перетину з прямою, що проходить через у=3. Таким чином, ми отримуємо точку K. Ця точка лежить у площині Oxy та має координати K(4;3;0). Тепер потрібно провести пряму паралельно до осі Oz. І пряму, яка проходить через точку з аплікатою 5 і паралельна діагоналі паралелограма у площині Oxy. На їхньому перетині ми отримаємо точку B.

Розглянемо розташування точок, у яких одна чи дві координати дорівнюють 0 (див. мал. 2).

Наприклад,точка A(3;-1;0). Потрібно продовжити вісь Oy вліво до значення -1, знайти точку 3 на осі Ox, і на перетині ліній, що проходять через ці значення, отримуємо точку А. Ця точка має аплікату 0, отже, вона лежить у площині Oxy.

Точка C(0;2;0) має абсцису та аплікату 0 – не відзначаємо. Ордината дорівнює 2, отже, точка C лежить тільки на осі Oy, яка є перетином площин Oxy і Oyz.

Щоб відкласти точку D(-4;0;3), продовжуємо вісь Ox назад за початок координат до точки -4. Тепер відновлюємо з цієї точки перпендикуляр - пряму, паралельну осі Oz до перетину з прямої, паралельної осі Ox і через значення 3 на осі Oz. Отримуємо струму D(-4;0;3). Оскільки ордината точки дорівнює 0, точка D лежить у площині Oxz.

Наступна точка E(0; 5; -3). Ордината точки 5, аплікату -3, проводимо прямі проходять через ці значення відповідних осях, і їх перетині отримуємо точку E(0;5;-3). Ця точка має першу координату 0, отже вона лежить у площині Oyz.

2. Координати вектора

Накреслимо прямокутну систему координат у просторі Oxyz. Задамо в просторі прямокутну систему координат Oxyz. На кожній із позитивних півосей відкладемо від початку координат одиничний вектор, тобто вектор, довжина якого дорівнює одиниці. Позначимо одиничний вектор осі абсцис (див. рис. 1). Ці вектори спрямовані з напрямками осей, мають одиничну довжину та ортогональні – попарно перпендикулярні. Такі вектори називаютькоординатними векторами абобазисом.

Мал. 1. Розкладання вектора за трьома координатними векторами

Візьмемо вектор за трьома координатними векторами:

Коефіцієнти цього розкладання x, y та z називаютьсякоординатами вектора в просторі.

Розглянемо правила, які дозволяють за координатами даних векторів знайти координати їх суми та різниці, а також координати добутку даного вектора на дане число.

1) Додавання:

2) Віднімання:

3) Множення на число:

Вектор, початок якого збігається з початком координат, називаєтьсярадіус -вектором. (Рис. 2). Вектор . У разі x – це перша координата точки A на осі Ox, y – координата точки B на осі Oy, z – координата точки C на осі Oz. На малюнку видно, що координати радіус-вектора одночасно є координатами точки М.

Візьмемо точку A(x1; y1; z1) і точку B (x2; y2; z2) (див. рис. 3). Представимо вектор . Таким чином, координати вектора ми можемо виразити через координати кінця та початку вектора.

Розглянемо приклади, що ілюструють властивості векторів та їх вираз через координати. Візьмемо вектори це означає знайти координати вектора, які повністю його визначають. Підставляємо у вираз замість векторів відповідно їх координати. Отримуємо:

Тепер множимо число 3 на кожну координату в дужках, і те саме робимо з 2:

У нас вийшла сума трьох векторів, складаємо їх за вивченою вище якістю:

Відповідь:

Дано:Трикутна піраміда AOBC (див. рис. 4). Площини AOB, AOC та OCB – попарно перпендикулярні. OA = 3, OB = 7, OC = 4; M – сер.AC; N – сер.OC; P – сірий. CB.

Знайти: .

Рішення: Введемо прямокутну систему координат Oxyz з початком відліку в точці O. За умовою позначаємо точки A, B і C на осях та середини ребер піраміди – M, P та N. За малюнком знаходимо координати вершин піраміди: A(3;0;0) ), B(0;7;0), C(0;0;4).

Оскільки координати вектора .

Щоб знайти координати вектора .

Тепер знайдемо координати точки P. Опустимо перпендикуляр на площину Oxy, отримуємо значення 3,5 осі ординат. І провівши перпендикуляр до осі Oz, отримуємо значення 2 по осі аплікату. Точка P має координати (0; 3,5; 2). Знаючи координати потрібних точок, знайдемо координати векторів, що залишилися.

;

.

Вектор .

">

---