Динаміка коливань маятника - Вивчення властивостей фізичного маятника
Маятники, зображені на рис. 2.6 являють собою протяжні тіла різної форми та розмірів, що здійснюють коливання біля точки підвісу або опори. Такі системи називаються фізичними маятниками. У стані рівноваги, коли центр ваги знаходиться на вертикалі під точкою підвісу (або опори), сила тяжіння врівноважується (через пружні сили деформованого маятника) реакцією опори. При відхиленні з положення рівноваги сила тяжкості та пружні сили визначають у кожний час кутове прискорення маятника, тобто. визначають характер його руху (вагання). Розглянемо тепер динаміку коливань докладніше на найпростішому прикладі так званого математичного маятника, який є грузиком малого розміру, підвішений на довгій тонкій нитці.
У математичному маятнику можемо знехтувати масою нитки і деформацією грузика, тобто. можемо вважати, що маса маятника зосереджена у вантажі, а пружні сили зосереджені в нитці, яку вважають нерозтяжною. Подивимося тепер, під дією яких сил відбувається коливання нашого маятника після того, як він у будь-який спосіб (поштовхом, відхиленням) виведений із положення рівноваги. Повертаюча сила Р1 при відхиленні маятника положення рівноваги.
Коли маятник лежить у положенні рівноваги, то сила тяжіння, що діє на його грузик і спрямована вертикально вниз, врівноважується силою натягу нитки. У відхиленому положенні (рис. 2.6) сила тяжіння Р діє під кутом до сили натягу F, спрямованої вздовж нитки. Розкладемо силу тяжкості на дві складові: за напрямком нитки (Р2) та перпендикулярно до нього (P1). При коливаннях маятника сила натягу нитки F дещо перевищує складову P2 - на величину доцентрової сили, яка змушує вантаж рухатися подузі. Складова Р1 завжди спрямована в бік положення рівноваги; вона хіба що прагне відновити це становище. Тому її часто називають силою, що повертає. По модулю Р1 тим більше, що більше відхилений маятник.
Отже, як тільки маятник при своїх коливаннях починає відхилятися від положення рівноваги, скажімо, праворуч, з'являється сила Р1, що сповільнює його рух тим сильніше, чим далі він відхилений. Зрештою ця сила його зупинить і спричинить положення рівноваги. Однак у міру наближення до цього положення сила P1 буде все менше і в самому положенні рівноваги обернеться в нуль. Таким чином, через положення рівноваги маятник проходить за інерцією. Як тільки він почне відхилятися вліво, знову з'явиться сила Р1, що зростає зі збільшенням відхилення, але тепер уже спрямована вправо. Рух вліво знову сповільнюватиметься, потім маятник на мить зупиниться, після чого почнеться прискорений рух праворуч і т.д.
Що відбувається з енергією маятника за його коливань?
Двічі протягом періоду - при максимальних відхиленнях ліворуч і праворуч - маятник зупиняється, тобто. у ці моменти швидкість дорівнює нулю, а отже, дорівнює нулю та кінетична енергія. Зате саме в ці моменти центр ваги маятника піднято на найбільшу висоту і, отже, найбільша потенційна енергія. Навпаки, у моменти проходження через положення рівноваги потенційна енергія найменша, а швидкість та кінетична енергія досягають найбільшого значення.
Ми припустимо, що силами тертя маятника повітря і тертям у точці підвісу можна знехтувати. Тоді за законом збереження енергії ця найбільша кінетична енергія якраз дорівнює надлишку потенційної енергії в положенні найбільшого відхилення над потенційною енергією вположенні рівноваги.
Отже, при коливаннях маятника відбувається періодичний перехід кінетичної енергії в потенційну і назад, причому період цього процесу вдвічі коротший за період коливань самого маятника. Однак повна енергія маятника (сума потенційної та кінетичної енергій) постійно постійна. Вона дорівнює тій енергії, яка була повідомлена маятнику при пуску, байдуже - у вигляді потенційної енергії (початкове відхилення) або у вигляді кінетичної (початковий поштовх).
Така справа при будь-яких коливаннях без тертя або будь-яких інших процесів, що відбирають енергію у коливальної системи або повідомляють їй енергію. Саме тому амплітуда зберігається незмінною і визначається початковим відхиленням чи силою поштовху.
Ті самі зміни повертає сили P1 і такий самий перехід енергії ми отримаємо, якщо замість підвішування кульки на нитки змусимо його кататися у вертикальній площині у сферичній чашці або в жолобі, що вигнутий по колу. У цьому випадку роль натягу нитки візьме на себе тиск стінок чашки або жолоба (тертям кульки об стінки і повітря ми знову нехтуємо).