11.1. Моделі теорії катастроф
Найчастіше неприємним сюрпризом для спостерігача виявляється ситуація, у якій невеликі, поступові зміни параметрів ведуть до несподівано різкої, обвальної зміни поведінки системи. Розглянемо основні тези теорії катастроф на якісному рівні, опускаючи математичні деталі (див. разд. 3).
Однією з найпопулярніших моделей теорії катастроф є катастрофа "складання", зображена на рис. 11.1.
Мал. 11.1. Катастрофа "складання"
Тут наочно продемонстровано якісні особливості катастрофічної поведінки систем. По осях а і b відкладено значення незалежних змінних, а по осі х — залежної. Можливим положенням системи відповідає поверхня катастроф. Проекція цієї поверхні на площину (а, Ь) дає біфуркаційну криву (біфуркація від латів. bifurcus - роздвоєний).
Припустимо, що безперервної зміни значень параметрів а та b на рис. 11.1 відповідає рух кривою RT. У точці T відбувається катастрофа - система стрибком переходить з верхнього листа на нижній до точки P.
Зазначимо, що кожному значенню параметрів а і b усередині кривої біфуркації відповідають два різні стани системи (бімодальність). На поверхні катастроф можна спостерігати явище гістерези, коли поведінка системи істотно залежить від передісторії процесу. Наприклад, при змі-
ні стану системи вздовж кривої RT відбувається стрибок з верхнього листа на нижній - з точки T в точку P. Але при русі вздовж кривої PQ стрибок з нижнього листа на верхній відбудеться не в точці P, а в точці Q.
Аналіз показав, що зі зростанням напруженості підвищується ймовірність хвилювань, а збільшення роз'єднаності пов'язані з характером хвилювань — вони стають раптовішими і запеклими.
Мал. 11.2. Модельхвилювань у в'язниці
Автори вважають, що динаміка системи відповідає моделі катастрофи "складання". З рис. 11.2 видно, що при низьких значеннях роз'єднаності система прагне стійкого положення помірного хвилювання, але при високому рівні роз'єднаності вона змінює своє положення стрибком з нижнього листа на верхній і назад.
Розглянемо модель ухвалення рішення про впровадження конкретного нововведення. Припустимо, що інновація приймається фірмою, якщо оцінка прибутку, отриманого від запровадження нововведення, висока, і відкидається за низької оцінки прибутку. Якщо оцінка набуває проміжного значення, то новинка може бути як відкинута, так і прийнята. В останньому випадку фірма збирає додаткову інформацію про новинку для того, щоб точніше оцінити майбутній прибуток. Для вирішення цього завдання T. Оліва (T. Oliva) пропонує використовувати модель катастрофи "складання" (рис. 11.3) [28].
Спроектуємо поверхню катастроф на площину XY (рис. 11.4)
Мал. 11.3. Модель ухвалення інновацій
Кожній точці поза заштрихованою ділянкою відповідає лише одне рішення. Кожній точці всередині заштрихованої області відповідають два значення залежної змінної Z - яке саме залежить від передісторії. Вертикальна пряма перетинає поверхню катастроф у трьох точках, але проміжне значення Z вважається неприпустимим (див. Розд. 3).
Мал. 11.4. Проекція поверхні катастроф
Якщо керівництво фірми було готове прийняти нововведення у точці T (див. рис. 11.3), то, рухаючись уздовж осі X (знижуючи оцінку прибутку, припустимо, до 1 млн рублів), фірма все одно готова впровадити новинку. Якщо фірма відкинула новинку в точці А, то, перейшовши в точку В і збільшивши оцінку прибутку до 1 млн рублів, як і в точці S, фірма не змінює рішення - діє інерціяустановки, кліше.
Перейдемо з точки В до точки M - оцінка прибутку зросте до 1,2 млн рублів. Далі невелика зміна оцінки до 1210000 рублів призводить до різкої зміни рішення - інновація приймається.
Зазначимо, що з високого ступеня поінформованості (Y велико) і збільшення параметра X стрибків немає, система функціонує плавно.
Розглянемо у цій моделі петлю гістерезису (A, M, T, R, А). У разі явище гистерезиса (чи запізнення) пояснюється інерційним сприйняттям менеджерів [28]. Хрестоматійний приклад гістерези в оптичному сприйнятті наведено на рис. 11.5.
У верхньому ряду четверте ліворуч зображення сприймається рівною ймовірністю як фігура дівчини і як чоловіче
Мал. 11.5. Бістабільність сприйняття
Одне з основних понять сучасної нелінійної науки – біфуркація. У математиці під біфуркацією розуміють зміну числа чи стійкості рішень певного типу моделі, що описує систему за зміни керуючих параметрів [16, з. 170]. У точці біфуркації система робить вибір, який визначає її подальшу еволюцію. Поняття біфуркації визначає процес переходу поступових кількісних змін параметрів, що управляють, в якісну зміну стану системи.
Цей підхід не випадково виник у наш час. На думку Лотмана, він пов'язаний не тільки з сучасним станом природознавства, але і зі специфікою епохи, що переживається нами: час підсумків, час "кінців" - закінчується XX століття, тисячоліття. Підбиття історичних підсумків неминуче пов'язане із питанням: куди йдеш? Історія - погляд на минуле з майбутнього, погляд на те, що сталося з погляду якогось уявлення про "норму", "закон", "код" - про те, що зводить подію в ранг історичного факту ізмушує сприймати події як мають сенс [11, с. 4].
Занадто часте та вільне використання терміна "біфуркація" політологами та істориками не схвалюють представники точніших, природничих наук. "У вивчених фізичних, хімічних і біологічних системах точок біфуркації не так вже й багато. Типовим є стійкий стан, стійкий раз-
Цікавий приклад біфуркаційної діаграми історичного процесу наводить Г.Г.Малинецький [12]. Він вважає, що теорія розвитку цивілізацій Тойнбі може бути проілюстрована моделлю, представленою на рис. 11.6.
Мал. 11.6. Біфуркації в історичному процесі