12 Нелокальна біфуркаційна множина для еліптичної омбіліки
У § 6 гол. 9 наші зусилля були спрямовані на відшукання точок у просторі деформації, де відповідна функція має вироджені (а тому нестійкі та приводять до біфуркацій) критичні точки. Якщо у функції немає таких точок, то її форма поблизу кожної точки структурно стійка і тоді для неї загальна кількість максимумів, загальна кількість мінімумів і загальна кількість сідел (якими ми найчастіше цікавимося) не змінюються при малих збуреннях. Але функція може виявитися нестійкою глобально, не маючи жодних локальних виродженостей, через те, що у двох невироджених критичних точках вона набуває одного й того ж значення.
На рис. 11.26 (b) зображено графік функції типу з окремими представницькими горизонталями. Нескладно переконатися, що єдиними критичними точками є це невироджені сідла, тобто стійкі особливості. Але довільно мале обурення може зробити сідло, де нижче за інше
(рис. 11.26(a)) або вище (рис. 11.26(c)). Жодний диффеоморфізм - ні області визначення цих функцій ні області їх значень І? - не зможе підігнати топологічну картину горизонталів для будь-якого з цих випадків до картини рис. 11.26(b). Глобальна стійкість функції вимагає не тільки виродженості її критичних точок, але також і розбіжності критичних значень. Більше того, ніякий диффеоморфізм, близький до тотожного, не зможе поєднати між собою рис. 11.26(a) та (с) (може відображення щодо осі у, але ніяке перетворення, що зберігає орієнтацію, не зможе). Шлях від (а) до (с) лежить через
Карти горизонталей на фото 6 і 7 усі демонструють потенціали з нестійкостями цього типу крім локальної нестійкості типу виродженої складки у правій частині карти.течій усі показують стійких сусідів теоретично розрахованих потенціалів, нееквівалентних їм глобально.
Щоб мати можливість робити більш детальні передбачення, ми повинні додатково вивчити — як частину біфуркаційної структури — безліч тих точок у просторі деформації, в яких для відповідних функцій має місце збіг критичних значень. Арнольд називає в [59] це безліч стратом Максвелла, у той час як Том, перший згаданий тут ім'я Максвелла, використовує термін безліч Максвелла для випадку, коли збіг критичних значень має місце в струмах мінімуму (пов'язуючи його з правилом Максвелра в термодинаміці, про що йдеться у гол. 14). Мабуть, більше підійшов би тут термін нелокальне біфуркаційне безліч (для безлічі точок у просторі деформації, яким відповідають функції з критичними значеннями, що збігаються) в протилежність локальному біфуркаційному множині тих точок, де відповідні функції виявляють локальну виродженість. (Ця термінологія має ще ту гідність, що вона поширюється на загальніший випадок динамічних систем, де можливі набагато цікавіші нелокальні біфуркації, такі, як вибухова поява „дивних атракторів" (Чіллінг-ворт [52]).) Окремі точки, як, наприклад, точка 4 на рис.11.25, можуть належати відразу до обох біфуркаційних множин.
Течія на рис. 11.27 не стало б нестійким як перебіг, якби функції струму довелося мати у точках А та В рівні значення. Тому нам слід окремо
Мал. 11.28 (див. скан)
визначити безліч з'єднання сідел для даної деформації як безліч тих точок простору деформації, для яких відповідні функції мають критичні точки, з'єднані якоюсь лінієюрівня. (Якщо функції визначені не на площині, а в 3, то лінії рівня замінюються (гіпер) поверхнями рівня.) Ця множина є, звичайно, підмножиною нелокальної біфуркаційної множини; у разі еліптичної омбіліки обидві множини збігаються.
На рис. 11.28 зображені карти ліній рівня для представницьких значень при фіксованому значенні Легко помітити, що перетин безлічі з'єднання сідел з цією площиною (площиною малюнка) складається з трьох відкритих напівпрямих, що виходять з початку, що є як видно з малюнка, точкою складання; тому повна (локальна разом з нелокальною) біфуркаційна множина виглядає так, як показано на рис. 11.29. Зауважимо, що прохід через нелокальну множину змінює зв'язки між такими, що витікають і витікають
струмами; зокрема, єдиний „канал", що з'єднує протилежні „протоки" (затемнений на рис. 11.30), переміщується.
Експериментальне завдання Беррі і Меклі полягала, таким чином, у тому, щоб спробувати "переміщатися" по можливості в межах нелокальної біфуркаційної множини. Те, що їм вдалося з такою великою точністю залишатися на цьому шматку поверхні, є показником високої адекватності їх теорії.