1.2. Подільність у кільцях.
Неформально кажучи, у напівгрупі можна лише множити (або додавати). У групі можна множити та ділити (або додавати та віднімати). У кільці можна додавати, віднімати та множити. У полі можна додавати та віднімати, множити та ділити.
Коли в полі раціональних чисел ми говоримо, що «ділимо число 2 на число 3», то це є вільним викладом більш правильного виразу «множимо число 2 на зворотне за множенням до числа 3». Чому не можна ділити на 0? Оскільки, 0a=0, то 0 не має зворотного за множенням і тому ділити нема на що.
У той самий час, у кільці цілих чисел, хоча число 3 немає зворотного по множенню, число 3 ділить число 6. І тут поняття ділимості має дещо інший сенс, ніж у попередньому абзаці.
Визначення.Елементакільця К ділить елементbкільця K, якщо існує елементcкільця K, такий щоb= ac. Точніше ділить зліва, т.к. кільце може бути некомутативним. Якщоb=ca, тоаділить елементbправоруч.
Звернемо увагу, що у цьому визначенні наявність зворотного елемента елемента «а» не передбачається.
Оскільки 0a=0, то за цим визначенням виходить, що 0 ділить 0. Виходить лінгвістична суперечність. Нуль ділить нуль, але нуль на нуль не ділиться!
Надалі ми матимемо справу тільки з комутативними кільцями, то праву і ліву ділимість ми не розрізнятимемо. Якщо елементaділить елементb, це позначаєтьсяa/b.
Властивості ділимості.Нехай До – кільце,a,b,c– його елементи.
4. Якщо, то
1. За визначенням ділимості знайдутьсяb1,c1 , що належать До, такі, щоb=ab1,c=ac1, тому , отже,елементаділить елемент
4. Остання властивість випливає з властивостей 1 та 2.
Третє властивість зазвичай називають транзитивністю. Крім транзитивності серед властивостей бінарних відносин, а подільність – це бінарне відношення, популярні рефлексивність та симетричність.
Щоб з'ясувати, коли ці властивості мають місце, нам знадобиться ще низка визначень.
Визначення.Елемент a кільця К називається оборотним (або одиницею), якщо існує елементb, що належить кільцю К, такий що,ab=1, де 1 – нейтральний елемент з множення.
Безліч К * оборотних елементів кільця К є групою щодо операції множення.
Визначення.Елементa≠0 кільця К називається дільником нуля, якщо існує елементb≠0 кільця К, такий, щоab=0.
Вправа.Перевірити, що кільця відрахувань по складовому модулю і кільця матриць Mn(K), приn>1, мають дільники нуля.
Завдяки тому сумному для споживачів обставині, що кільця матриць мають дільники нуля, багато математиків мають роботу. Причина в тому, що розв'язання систем лінійних рівнянь над кільцями з дільниками нуля дуже клопітна справа і кожне кільце потребує окремого дослідження.
Розглянемо кільце Z8 і два рівняння з коефіцієнтами в цьому кільці: 4x=0 таx2+x+1=0. Як легко перевірити перше рівняння має чотири рішення – 0, 2, 4, 6, а друге – жодного. □
Визначення.Елементиaтаbкільця К називаються асоційованими, якщоa\bіb\a.
Досліджуємо докладніше асоційовані елементи. Якщоa\bіb\a, то одночасно виконуються дварівностіb=ab1,a=ba1. Отже, . Таким чином,b(1-a1b1) = 0, іa(1-b1a1)=0. Якщо кільце К не має дільників нуля, то виходить, що
a1b1=1. Тобто асоційовані елементи відрізняються один від одного на оборотний елемент. Наприклад, у кільці цілих чисел група оборотних елементів складається з двох елементів Z * =-1, тому асоційованими елементами будуть, наприклад, 3 і-3, 5 і-5.
Фундаментальну роль в алгебрі та теорії чисел, а також у криптографії відіграють прості елементи кільця. У разі кільця цілих чисел – прості числа.
Визначення.Елементpкільця К без дільників нуля називається простим, якщо він ділиться тільки на оборотні елементи та на асоційовані з ним.
Якщо обмежиться лише натуральними числами, то визначення простого елемента звучатиме так: «простий елемент ділиться лише з себе і одиницю», оскільки серед натуральних чисел оборотним елементом є лише 1.
У кілець без дільників нуля є одна чудова властивість.
Основна властивість кілець без дільників нуля.
Нехай До – кільце без дільників нуля іa≠0, тоді з рівностіab=acвипливає, щоb=c.
Звернемо увагу, що ця властивість означає логічне скорочення, а не множення на елемент, зворотний елемент «а». До речі, такого зворотного може не існувати.