1.3. Визначення радіуса кривизни траєкторії за заданими рівняннями руху точки

Розглянемо алгоритм розв'язання такого завдання. Нехай рух точки заданий у координатній формі:

Для визначення радіусу кривизни траєкторії необхідно обчислити квадрат швидкості точки та її нормальне прискорення:

Квадрат повного прискорення точки обчислюємо за такою формулою:

Враховуючи, що нормальна та дотична складові прискорення взаємно перпендикулярні, знаходимо

Звідси:.

Квадрат швидкості точки визначаємо за формулою:

Для визначення дотичного прискорення продиференціюємо за часом останнє співвідношення:

або

Тут

– проекція вектора прискорення напрям вектора швидкості. Зауважимо, що.

Рух точки задано рівняннями

Визначити радіус кривизни траєкторії для будь-якого часу.

Обчислимо квадрат швидкість точки: .

Обчислимо квадрат прискорення точки: .

Рівність набуває вигляду:.

.

Нормальне прискорення одно

.

Визначаємо радіус кривизни траєкторії

Визначити радіус кривизни траєкторії снаряда, рух якого описано у прикладі 1.2.

Щодо завдання про рух снаряда отримуємо:

Зауважимо, що напрямок руху снаряда по траєкторії з часом не змінюється. Направимо орт дотичної за напрямом вектора швидкості. Тоді проекція вектора швидкості напрям орта дотичної до траєкторії позитивна будь-якої миті часу.

ЗАВДАННЯ, РЕКОМЕНДУЄМО ДЛЯ РОЗБОРУ В АУДИТОРІЇ І ДЛЯ ЗАВДАННЯ НА БУДИНОК:

Зі збірки завдань І.В.Мещерського: 10.4; 12.1; 12.6; 12.7; 12.9; 12.10.

З підручника «ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНІКА – теорія та практика»: комплекти СР-17;

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 3

2. Кінематика твердого тіла

2.1.Найпростіші рухи твердого тіла

Кут нахилу повного прискорення точки обода махового колеса до радіусу

. Щодо прискорення цієї точки в даний момент часу Знайти нормальне прискорення точки, що віддаляється від осі обертання на відстаніРадіус махового колеса

Нормальне прискорення точки спрямоване по радіусу (Рис. 2.1), отже,

Звідси:

;

Вал радіуса приводиться в обертання гирей, прикріпленої до кінця троса, намотаного на вал. Визначити модуль прискорення точки обода валу, якщо прискорення гірі

(Рис.2.2). У початковий момент вал перебував у спокої.

Крапки троса, залишивши поверхню валу, рухаються прямолінійно рівноприскорено:

Оскільки трос не прослизає поверхнею валу, швидкості точок

троса і валу збігаються.

Використовуючи формулу Ейлера, знаходимо кутову швидкість валу.

та його кутове прискорення

Тепер визначаємо складові прискорення будь-якої точки

ободу валу:

Залишається визначити модуль прискорення точки

Зауважимо, що й швидкості точок

троса і валу збігаються, їх прискорення різні: точкавала має нормальну складову прискорення, оскільки рухається по криволінійної траєкторії.

Стрілка гальванометра довжиною

коливається навколо нерухомої осі за закономВизначити прискорення кінця стрілки в її середньому та крайніх положеннях, якщо період коливань, а кутова амплітуда

Насамперед, знаючи закон обертання, визначимо кутову швидкість та кутове прискорення тіла:

Використовуючи формули (2.3), визначаємо дотичне та нормальне прискорення точки:

Період пов'язаний з круговою частотою співвідношенням 2

.

Длясереднього становища стрілки маємо:

Для крайніх положень стрілки маємо:

ЗАВДАННЯ, РЕКОМЕНДУЄМО ДЛЯ РОЗБОРУ В АУДИТОРІЇ І ДЛЯ ЗАВДАННЯ НА БУДИНОК:

Зі збірки завдань І.В.Мещерського: 13.6; 13.14; 13.17; 13.18; 14.4; 14.5; 14.10.

---