§ 2. Аксіома вибору
Кантор пристрасно прагнув довести континуум-гіпотезу. У разі, якби це вдалося зробити, було б не лише підтверджено ефективність методів нової теорії множин. Цей доказ був би виправданням і принципової тези: тієї філософсько-наукової програми, прибічником якої вважав себе Кантор. Тисячоліття континуум розглядався як така собі даність, як якесь нерозкладне далі a priori. Якби вдалося довести континуум-гіпотезу або у її вихідній формі, або у ширшій, наприклад
для якогось натуральногоn, то тоді континуум,безперервнебуло б ототожнено з деяким цілком упорядкованим безліччю, було б, так би мовити,складено з точок.Нагадаємо , Щоцілком упорядкованим безліччюназивають упорядковане безліч, кожне підмножина якого має найменший елемент 1 . Спеціальне виділення цілком упорядкованих множин потрібно було Кантору тому, що дві цілком упорядковані множини завжди можна порівняти між собою: відобразити одне на частину іншого. З цього випливає порівнянність відповідних цих множин ординалів. А з останнього-і порівнянність відповідних ординалів кардиналів, тобто. потужностей множин. Значить, будь-які потужності-а значить, і потужність континууму, іалефи-порівняльні, якщо відповідні їм множини можна цілком упорядкувати. Але як це зробити для конкретних множин, взагалі кажучи, незрозуміло. Зокрема, одномірний континуум, наприклад інтервал дійсних чисел (0; 1), взятих у їхньому природному впорядкуванні за величиною, не є цілком упорядкованим безліччю. Наприклад, підмножина чисел 1 . Тоді раціональне число з цим найменшим номером і буде найменшим у сенсі нашого нового впорядкування.
У цьому прикладі суттєво те, щоQєлічильнамножина, тобто. його можна поставити у взаємно однозначну відповідність зN. Так само можна цілком упорядкувати будь-яке лічильне безліч. Але Кантор показав, що континуум є безліч. Тому для його впорядкування потрібні були інші методи. Однак надію на те, що безліч завжди може бути цілком упорядкованою, поділяли далеко не всі. Так було в 1903 р., коли теорія множин вже мала достатньої популярності, Б. Рассел заявляв: «Вірно, Кантор вважає законом мислення те, що будь-яке певне безліч може бути цілком упорядковане; однак я не бачу підстав для цієї думки» 1 .
Неважко у світлі цього зрозуміти, яким ударом для Кантора була доповідь математика з Будапешта Ж. Кеніга на III Міжнародному конгресі математиків у Гейдельберзі в 1904 р. Кеніг стверджував, що потужність континууму не дорівнює жодному алефу. І тим самим, зокрема, підривалася віра в мовчазно прийняту Кантором передумову, що будь-яка множина може бути цілком упорядкованою. А від цієї причини залежала, як ми казали, порівнянність ординалів і потужностей, тобто. існування тієї шкали «нескінченних чисел», яка і акумулювала у собі весь науковий і філософський пафос теорії множин.
Але вже в тому ж 1904 р. учень Кантора Е. Цермело запропонував доказ теореми про те, що будь-яка множина може бути цілком упорядкована. Дискусія перейшла у нову фазу. Внаслідок цієї дискусії в теоремі Цермело було виявлено слабкий пункт. Доказ спирався на таке положення: дана деяка, взагалі кажучи, нескінченна сукупність множин; існує функція, що ставить у відповідність кожній множині з цієї сукупності певний елемент цієї ж множини. Або, простіше кажучи, у нескінченній множинімножин можна здійснити процедуру вибору в кожному з цих множин одного елемента. За всієї, здавалося б, очевидності цього становища з ним погоджувалися далеко не всі. Різко проти виступили, зокрема, французькі математики: Еге. Борель, Р. Бер, А. Лебег. Сумніви викликали переважно два моменти. По-перше, якщо йдеться про нескінченну послідовність вибору елементів, то відразу постає питання про те, як це реалізувати у часі; якщо ж припускати всі вибори такими, що відбуваються одночасно, то знову тут потрібна якась конструкція, що пояснює. По-друге, вибір одного елемента з довільної множини є справжньою логічною проблемою. Якщо елементи ніяк не впорядковані, - а саме така ситуація в теоремі Цермело, де ще тільки будують упорядкування, - то вони як би і невиразні і виділити якийсь один неможливо.
В силу принципової важливості цього положення для теорії множин воно отримало назвуаксіоми вибору(або аксіоми Цермело) і увійшло до семи аксіом теорії множин, запропонованих також Цермело в 1908 р. Досить швидко було виявлено, що аксіома Цермело застосовується у доказі багатьох положень як теорії множин, і аналізу. Так, найпростіші теореми теорії множин, наприклад:
об'єднання лічильного числа не більше ніж лічильних множин саме не більше ніж лічильно, або:
вже потребують застосування аксіоми вибору. Що стосується математичного аналізу, то Ф. А. Медведєв, наприклад, вказує в класичному курсі математичного аналізу Г. М. Фіхтенгольця велику кількість теорем, що залежать від аксіоми вибору, серед яких такі важливі, як:
теорема про безперервну функцію, що приймає значення різних знаків на кінцях проміжку;
лема Больцано-Вейєрштрасса про схожупідпослідовності в обмеженій послідовності;
теорема Коші про кінцеві прирости;
теорема Лопіталя про розкриття невизначеностей та багато інших 1 .
Аксіома вибору формулюється досить просто і логічно здається досить природним і не обіцяє несподіванок твердженням. Однак це враження оманливе. За допомогою аксіоми вибору будуються такі екстравагантні приклади, як безліч Віталі 2 , незмірне, за Лебегом, або парадокс Банаха-Тарського. Дамо формулювання останнього: «Використовуючи аксіому вибору, можна розбити кулю на кінцеве число частин, які можна переставити так, що вийдуть дві кулі такого ж розміру, як і вихідна куля» 3 . Тобто ми маємо як наслідки з аксіоми вибору такі положення, які суперечать нашій інтуїції простору.
Внаслідок, зокрема, і таких парадоксів, заснованих на аксіомі Цермело, «діапазон думок математиків про цю аксіому скандально широкий», як пише Ф. А. Медведєв 4 . Д. Гільберт підтримував використання аксіоми вибору математики і вважав, що вона пов'язані з фундаментальними логічними принципами математичного мислення. А. Пуанкаре вважав аксіому вибору одним із визначальних синтетичних апріорних суджень, яке неможливо довести, але без якого важко будувати як кінцеву, так і нескінченну арифметику. Б. Рассел був більш стриманий в оцінці аксіоми: «Можливо, що вона є істинною, але це не очевидно, а її наслідки дивовижні. За цих обставин мені здається правильним утримання від її застосування, за винятком тих міркувань, які дають надію отримати абсурд і таким чином дати негативне вирішення питання про істинність цієї аксіоми» 1 . український математик М. М. Лузін різко негативно ставився до використанняаксіоми вибору: «Застосовувати вільний вибір-це означає, на мою думку, жонглювати з'єднаннями порожніх слів, сенсу яких не відповідає жодний інтуїтивно доступний факт»; «Проти неї [проти аксіоми вибору.—В.К.] говорить саме ця надзвичайна легкість її застосування, негайність відповідей, що даються нею, оскільки математичні сутності, сформовані за допомогою її, не міцні, не мають стійкості , маючи надто розпливчасті, невизначені властивості, щоб практично служити потім точкою опори для математичних міркувань, спрямованих на класичні математичні предмети. Навпаки, освіта математичного предмета без аксіоми Цермело часто становить надзвичайні труднощі, проте такий математичний предмет, будучи побудований, майже завжди має велику цінність для подальших пошуків» 2 .
Завдяки роботам Геделя (1939) і Коена (1963) було встановлено, що аксіома вибору може бути ні доведена, ні спростована з системи аксіом Цермело—Френкеля теорії множин. Склалося цим становище, що нагадує ситуацію з п'ятим постулатом Евкліда в геометрії. І як для останньої незалежність п'ятого постулату від інших аксіом дозволяла будувати неевклідові геометрії, так і у випадку з аксіомою вибору — через її незалежність — були зроблені спроби побудови нецермелівських (неканторівських) теорій множин (а на їх основі— і всієї будівлі математики) як без аксіоми вибору, так і із заміною її на іншу аксіому 1 . Як приклад останнього наведемо формулювання аксіоми, альтернативної цермеловской,—так званоїаксіоми детермінованості: «Кожна безліч А нескінченних послідовностей натуральних чисел визначає наступну нескінченну гру GA двох гравців. Гравець I пише натуральне числоn0, гравецьII відповідає тим, що пише натуральне числоn1, потім гравець I пишеn2, гравець II пишеn3 і т.д. Якщо послідовністьn0,n1,n2,n3, що отримується в результаті гри. належить множині А, то вигравши вважається гравець I, інакше виграє гравець II. Гра GAназиваєтьсядетермінованою, якщо виграючу стратегію має або гравець I, або гравець II.Аксіома детермінованостістверджує, що для кожного такого безлічі послідовностей А гра GA є детермінованою 2 . Виявляється, за допомогою повного впорядкування багатьох послідовностей натуральних чисел можна побудувати гру, яка не буде детермінованою. Отже, аксіома детермінованості суперечить аксіомі вибору (все загальному вигляді). Але, з іншого боку, аксіома детермінованості тягне за собою аксіому вибору в рахунковому варіанті, і тому основні теореми теорії дійсних чисел не змінюються. У математиці з аксіомою детермінованості кожне безліч дійсних чисел вимірно, по Лебегу, і або більш ніж рахунково, або має потужність континууму.
Тим самим суперечки навколо аксіоми вибору призвели до побудови альтернативних канторівських теорій множин. Зробити між ними вибір на користь якоїсь однієї, «природнішої», неможливо. У всякому разі, зсередини математики. «Аргументований вибір між аксіомою вибору та аксіомою детермінованості, — пише Кановей, — можливий, ймовірно, лише шляхом порівняння краси та багатства теорій, побудованих на цих аксіомах, а також порівняння узгодженості наслідків АС [аксіоми вибору. -В.К.] та АТ [аксіоми детермінованості. —В.К.] із математичною інтуїцією, що складається» 1 .