2 WHAT A SEMIGROUP IS ЩО ТАКЕ НАПІВГРУПА L

Прозорий доказ сформульованого хрестоматійного факту не вимагає додаткових Зробимо це ланцюжком рівностей, користуючись відповідними відомостями, крім тих, що вже викладені в даній ухвалі та асоціативності статті, і ми наведемо його.

Отже, нехай S – довільна напівгрупа. Бу(ab)(x) = fab(x) = (ab)x = a(bx) = демо вважати, що вона мультиплікативна. Потрібно = fa(fb(x)) = fa fb(x) = (a)(b)(x).

вказати таку множину X, що у повній напівгрупі перетворень T(X) знайдеться піднапівгрупа, Теорема доведена.

ізоморфна напівгрупа S. В якості X візьмемо Поняття ізоморфізму не тільки у випадку напівмножини, отримане з S приєднанням симгруп, але взагалі для різноманітних математичних 1, не належить S. Поширимо розумних структур є одним з найважливіших поняття в S на безліч X, для чого треба визначити тій в математиці. Воно служить для виявлення твору a 1 і 1 a для будь-якого a S, а також "однаковості" структур, що розглядаються, з точки добутку 1 1. Покладемо зору їх абстрактних властивостей, тобто властивостей, опa 1 = 1 a = a, 1 1 = 1 .

ределяемых не природою елементів цих структур, а взаємодією елементів, однак описи Тим самим задана операція множення множеним мовою, що задає дані структури, настві X. Легко переконатися, що вона асоціативна, то приклад мовою алгебраїчних операцій. Багато хто є X є напівгрупою щодо цієї структури, що вивчаються, класифікуються матемаоперації. Бачимо, що 1 є одиниця вX.

тиками, як прийнято говорити, з точністю до ізоТеперь кожному a S поставимо у відповідність морфізму, тобто ізоморфні структури вважають перетворення fa множини X, задане умовою:

для будь-якого x X Проілюструємо зараз подібну класифікацію (x) = ax (2) кацію на простому (з погляду алгебраїста-дослідника) прикладі двоелементних напівгруп, (точку як знак множення будемо переважно перерахувавши всі такі попарно неізоморфні напівопускати). Зрозуміло, що fa є дійсно групи. У яких термінах здійснити зазначене перетворенням X: адже, згідно з визначенням перерахування Це можна зробити різними способами множення на X, ми маємо ax S і, отже, ax X.

ми. Зокрема, тут застосуємо відомий спосіб Безліч всіх таких перетворень fa позначення бінарної операції на кінцевій множині чим через F. Встановимо зараз, що F є підполу за допомогою так званої таблиці множення.

група в T(X), ізоморфна S, тим самим теорема Ми зробимо це, скориставшись деякими буде доведено.

лугруппами, вже розглянутими у статті. А іменF - підмножина в T(X), і потрібно переконатися, але, зафіксуємо двоелементне безліч M, що воно замкнене щодо множення, тобто символів a1 і a2. Через M1–M4 позначимо для будь-яких fa, fb F знайдеться такий елемент c S, що напівгрупи, отримані з завданням операцій M, fafb = fc. Користуючись визначенням перетворень, описаних відповідно у прикладах (а)–(г) із складових F (формула (2)) та визначенням умп. 1.12 (при цьому в напівгрупі M3 для визначенняноноження перетворень (формула (1)), а також ассті вважаємо фіксованим елемент a1), а через Mсоціативністю множення в X, отримуємо для люобозначим напівгрупу, отриману з M завданням бого x Xпослідовно fafb(x) = fa(fb(x)) = a(bx) = наступної операції: a1 a1 = a2 a2 = a1, a1 a2 = = (ab) x = fab (x). Ми бачимо, що як необхідно = a2 a1 = a2.

го елемента можна взяти ab.

Теорема 2. Будь-яка двоелементна напівгрупа Тепер переконаємося, що відображення, сопоставізоморфна одній з щойно введених напівгруп ляє кожному елементу a S перетворення fa, M1–M5.

буде шуканим ізоморфізмом S на F. За визначенням Легко переконатися, що напівгрупи M1–M5 попарню, що відображає S на F, треба перевірити, чи взано неізоморфні. Таким чином, з точністю до однозначно, тобто з того, що (a) = (b), ізоморфізму є всього п'ять різних двох слід a = b. Оскільки (a) = fa та (b) = fb, умова елементних напівгруп. Одна з них, а саме M5 (a) = (b) означає, що fa = fb, а це, у свою чергу, є група.

означає, що з будь-якого x X fa(x) = fb(x). Привести доказ теореми 2 в рамках ності, fa(1) = fb(1) (ось де знадобилася одиниця!), цієї статті неможливо, та й навряд чи було б цілето є a 1 = b 1. Але a 1 = a, b 1 = b, отже, a = b.

.. Число елементів кінцевої напівгрупи називається статей. Деяким початковим відомостям є її порядком. Зі зростанням n число всіх попарно ненапівгруп присвячений один з параграфів навчальноізоморфних напівгруп порядку n зростає дуже швидкого посібника [9]. Напівгрупам (зокрема, їх свястро. Уявлення про це зростання дає наступна зем з автоматами) приділено увагу і в популяртаблиця, де ми відзначаємо і число неізоморфної книги [10].

груп даного порядку:

Порядок напівгрупи 1 2 3 4 5 1. Хілле Е., Філіпс Р. Функціональний аналіз і Число неізоморфних по- 1 5 24 188 1915 28 лугруппы. М: ІЛ, 1962. 830 с.

лугрупп цього порядку 2. Шеврін Л.М.Тотожності в алгебрі // Соросовський З них груп 1 1 1 2 1 2 Освітній Журнал. 1996. № 7. С. 111-118.

3. Ольшанський А.Ю. Множення симетрій і перетворень // Саме там. № 5. С. 115-120.

Читач зауважив, що кількість груп порядку n не4. Лаллеман Ж. Напівгрупи та комбінаторні приломонотонно залежить від n. Це пояснюється специфікацією. М.: Світ, 1985. 440 з.

кой груп, в силу якої властивості кінцевої групи дуже істотно залежать від того, як 5. Лідл Р., Пільц Г. Прикладна абстрактна алгебра.

розкладання порядку групи на прості множите- Єкатеринбург: Вид-во Урал. ун-ту, 1996. 764 с.

чи. Зокрема, для будь-якого простого числа p суще6. Ляпін Є.С. Напівгрупи. М.: Фізматгіз, 1960. 592 с.

є з точністю до ізоморфізму лише одна 7. Кліффорд А., Престон Г. Алгебраїчна теорія погрупа порядку p. Можна сказати, наріжним лугруп. М.: Світ, 1972. Т. 1. 286 с.; Т. 2. 422 с.

каменем теорії кінцевих груп служить теорема Лагранжа, згідно з якою порядок будь-якої підгруп- 8. Шеврін Л.М. Напівгрупи / / Загальна алгебра / За ред. Л.А. Кушнірська. М.: Наука, 1991. Т. 2. С. 11-191.

пи в кінцевій групі є дільником порядку групи. Для довільних кінцевих напівгруп 9. Кушнір Л.А. Алгебри елементів. М: Наука, 1986.

нічого схожого немає: для будь-якого n існують по 240 с.

лугруппи порядку n, що мають піднапівгрупи лю10. Фрід Е. Елементарне введення в абстрактну албого меншого порядку; такі, наприклад, напівгебру. М: Мир, 1979. 262 з.

групи лівих (або правих) нулів.

* * * Теорія напівгруп - дітище XX століття. Поняття Лев Наумович Шеврін, доктор фізико-матемаполугрупи та відповідний термін виникли у тичних наук, професор, зав. кафедрою алгебри на початку століття, асистематичні дослідження напів-і дискретної математики Уральського государстгруп почалися наприкінці 20-х. До 60-х років тео- венного університету, голова правління напівгруп сформувалася в динамічно розви- Уральського математичного товариства, заслужену галузь алгебри з багатою проблематикою діяч науки Укаїни, акадеї різноманітними додатками. У ті роки пам'ятник Академії гуманітарних наук, член редколеявились і перші монографії, цілком присвячений журналу “Известия вузов. Математика” ні алгебраїчної теорії напівгруп [6, 7]. Перед-міжнародного журналу “Semigroup Forum”. Лауставлення про сучасний стан цієї теорії реат Міжнародної премії з освіти можна отримати за розділом IV довідника “Загальна їм. Хосе Васконселоса Всесвітньої ради з алгебру”, див. [8], де містяться детальні зведено-культури. Автор понад 160 робіт, у тому числі ня по основним розділам теорії і наводиться кілька оглядових статей, трьох монографій, досить повна (на кінець 80-х років) бібліогра- двох шкільних підручників, трьох науково-художніх основних джерел – книг і оглядових венних книг з математики для маленьких дітей.