§ 22. Перетворення горизонтальних координат на екваторіальні та назад
§ 22. Перетворення горизонтальних координат на екваторіальні та назад
На основі головних точок горизонтальної та екваторіальної систем координат будується так званий перший астрономічний трикутник. Розглянемо рис. 47, на якому зображені обидві системи координат - горизонтальна та екваторіальна. Сферичний трикутник PZQ, також зображений у правій частині рис. 47, утворений дугами великих кіл - меридіана PZ, вертикала світила ZQ та кола відмінювання PQ.
Його сторони: ZQ - зенітна відстань світила z = 90° - h, PQ - полярна відстань р = 90° - δ точки Q, а PZ доповнює до 90° дугу PN', яка, як відомо, дорівнює географічній широті місця спостереження так що PZ - 90° - φ.
Кут Р, як неважко бачити, дорівнює кутові t. Що ж до кута Z, його визначити дещо складніше. Це кут між дотичними ZV і ZL він одночасно вимірюється дугою горизонту NX, яка дорівнює різниці дуг NS = 180 °, і SХ = а - азимуту світила. Таким чином, Z = 180 ° - а. Третій кут трикутника, з вершиною в точці Q, використовується при обчислення порівняно рідко; він називається паралактично кутом,
Застосування до цього трикутника формул (2.2) – (2.4) дозволяє переходити від однієї системи координат до іншої.
Тепер нам належить вирішити два завдання. Знаючи широту місця спостереження ф, зенітну відстань z і азимут а світила, обчислити його кут t і відмінювання δ.
Застосуємо до сторони PQ першу формулу (2.2):
cos (90 - δ) = cos (90 -φ) cos z + sin (90 про -φ) sin zcos (180 про -а).
Використавши найпростіші формули наведення, знайдемо
sin δ = sin φcos z - cos φsin z cos а. (2.5)
За цієюФормулі, як ми пояснимо це прикладом, можна визначити відмінювання світила δ.
Щоб визначити годинний кут t, застосуємо формулу (2.3):
Хоча ця формула дозволяє визначити sint, знайти по ній значенняt(однозначно) не можна, тому що тому самому значенню синуса відповідають два значення:tі 180 ° -t. Треба дізнатися, чому дорівнює cost. Для цього застосуємо формулу (2.4) до сторониPQі кутуР:
sin (90 про -δ) cost= sin (90 про -φ) cos z - cos (90 про -φ) sin z cos (180 про - а)
cos δ cost= cos φ cos z + sinφ sin z cos а.(2.7)
Наводимо приклад чисельного розв'язання задачі. Для виконання обчислень знадобиться арифмометр. Їх можна, звичайно, робити і за таблицями логарифмів, але це більш громіздко. Отже, дано: широта місця спостереження φ = 51°37',3, зенітна відстань світила z = 41°18',5 та азимут а = 38°18',4.
Знайти відмінювання б і пряме сходження а світила, знаючи, що в момент спостереження зоряний час а = 16 год. 44 м. 52 с.
Виконуючи розрахунки, астроном зазвичай створює схему обчислень, програму. Можна запропонувати таку схему: у перших її двох рядках виписані синуси та косинуси вихідних даних, взяті з п'ятизначних таблиць натуральних зйачень; у наступних рядках вказані знаки дій відповідно до виведених формул:
При виконанні цих обчислень нам довелося інтерполювати табличні величини, округляти числа при множенні та розподілі.
Правила округлення дробових частин чисел такі. Наприклад, якщо хочемо з дробу 0,375648 отримати округлене до п'яти знаків значення, то, відкидаючи 8, ми повинні до передостаннього знаку додати одиницю, тобто. записати 0,37565. Якщо ж округляється дріб 0,375644, то остання цифравідкидається, тому потрібно взяти 0,37564. У тих випадках, коли у знаку, що відкидається, стоїть цифра 5, умовилися округлювати до парної цифри, тобто. число 0,375645 округляється так: 0,37564, а число 0,375635 також записується як 0,37564.
Необхідність заокруглення дробів спричинена наступною обставиною. Кожна є наближеним числом і його похибка може досягати п'яти одиниць відкинутого знака. Разом з тим арифмометр, при множенні, наприклад, 0,62085 на 0,66011, дає відповідь 0,4098 292 935. Звичайно, таку кількість цифр писати безглуздо. Вірних цифр лише п'ять, і треба взяти заокруглене значення дробу 0,40983, що ми зробили вище.
У нашій схемі ми одержали два значення t. Щоб дізнатись, у якому квадраті знаходиться t, необхідно визначити знаки синуса та косинуса. У нашому випадку вони позитивні і відповідь треба помістити в перший квадрант, тобто t = 25 7',6.
З іншого боку, два значення t, які отримують майже незалежно, дозволяють контролювати правильність виконання обчислень. Взагалі кажучи, астрономи, складаючи схеми обчислень, намагаються запровадити у яких «сторонні» дії, які автоматично контролювали б правильність ходу розрахунків. Тепер перетворюємо годинний кут із градусного заходу на тимчасовий і знаходимо, що t = 1 год. 41 м. 44 с. Оскільки α = s - t, то α = 16 год. 44 м. 52 с.- 1 ч. 41 м. 44 5. = 15 год.
Тепер приступимо до вирішення зворотного завдання. Нам дано φ, t та δ. Треба знайти z та а.
Застосуємо до трикутника PQZ самі формули сферичної тригонометрії. Першу формулу (2.2) застосуємо до сторони ZQ та знайдемо:
cos z = cos(90 про -δ) cos(90 про -φ) + sin(90 про -δ) sin(90 про -φ) cos t або cos z = sin δ sinφ+cosδcosφcost(2.8)
Формула (2.6) зберігає свій сенс у цьому випадку. Вона листуєтьсятак:
Щоб визначити, в якому квадранті розташоване значення а, треба використовувати одну з формул (2.4), застосувавши її до сторони ZQ та кута Z:
sin z cos (180 про -а) = sin (90 про - φ) cos (90 про - δ) - cos (90 про - φ) sin (90 про - δ) cost
sin z cos а = - cosφ sin δ+sinφcosδ cost. (2.10)
Завдання вирішено і залишається вирахувати приклад.
Дано: широта місця дорівнює 51 ° 37',3. Годинний кут світила дорівнює t = 22 год. 40 м. 51 с., а відмінювання світила δ = -15 ° 43',6. Обчислити зенітну відстань та азимут.
Насамперед перетворюємо t з тимчасової міри на кутову:
t = 22 год. 40 м. 51 с. = 340 про 12',8 = - 19 про 47',2.
Потім складаємо найбільш зручну та коротку схему обчислень:
Ми знайшли, що синус а від'ємний, а косинус а позитивний. Отже, азимут розташований у четвертому квадранті і остаточна відповідь така: a = -20 ° 21'3, z = 69 ° 31'3.
Вирішимо тепер таке завдання; визначити час сходу чи заходу світила, знаючи його екваторіальні координати.
Справді, у момент сходу (або заходу) зенітна відстань повинна дорівнювати 90°, якщо, звичайно, знехтувати порівняно невеликим впливом рефракції світла в земній атмосфері. Справа в тому, що заломлення світла, що відбувається в повітрі, піднімає світило над горизонтом, тобто зменшує його зенітну відстань. Поблизу зеніту вплив рефракції дуже малий, він зростає зі збільшенням зенітної відстані. Однак навіть на горизонті воно досягає всього половини градуса і за наших розрахунків їм можна знехтувати.
Прийнявши, що z = 90°, отже cos z = 0, підставимо це значення формулу (2.8) і знайдемо часовий кут t0:
cos tо = - tg δ х tg φ. (2.11)
Знаючи косинус t0, отримаємо два значення кута: +t0 для точкизаходу та -t0 для сходу. Якщо нам відомо пряме сходження світила а, то ми знайдемо зоряний час як сходу, так і заходу за формулами:
Знаходимо годинниковий кут точок сходу та заходу за формулою (2.11), використавши для цього десяткові логарифми:
Значокnз'явився тому, що у формулі стоїть знак мінус; це означає, що відповідь негативна. За логарифмом косинуса знаходимо з таблиць кут 82 ° 43 '.
Так як косинус від'ємний, то tQ = 180 ° - 82 ° 43 '= 97 ° 17'. Перевівши його значення у тимчасовий захід, отримуємо
t0 = 6 год. 29 м. 08 с.
Залишається останнє: перевести зоряний час до середнього. Обчислюємо паралельно:
