2.2.4 Оцінка значимостіпараметрів регресії
У лінійній регресії зазвичай оцінюється значущість як рівняння загалом, а й окремих його параметрів. З цією метою по кожному з параметрів визначається його стандартна помилка:тbіта.
Стандартна помилка коефіцієнта регресії параметраbрозраховується за такою формулою:
Де залишкова дисперсія однією ступінь свободи.
Відношення коефіцієнта регресії до його стандартної помилки даєt-статистику, яка підпорядковується статистиці Стьюдента за ступені свободи. Ця статистика застосовується для перевірки статистичної значущості коефіцієнта регресії та розрахунку його довірчих інтервалів.
Для оцінки значимості коефіцієнта регресіїйого величину порівнюють із його стандартною помилкою, тобто. визначають фактичне значенняt-критерію Стьюдента: , яке потім порівнюють з табличним значенням при певному рівні значущостіαі числі ступенів свободи.
Справедлива рівність
Довірчий інтервал для коефіцієнта регресіївизначається як.
Стандартна помилка параметраавизначається за формулою
Процедура оцінювання значущості даного параметра не відрізняється від розглянутої вище коефіцієнта регресії: обчислюєтьсяt-критерій:
Його величина порівнюється з табличним значенням за ступені свободи.
Значність лінійного коефіцієнта кореляціїперевіряється на основі величини помилки коефіцієнта кореляціїmr:
Фактичне значенняt-критерію Стьюдента визначається як
Ця формула свідчить, що у парної лінійної регресії , бо як зазначалося, . Крім того, отже.
Таким чином,перевірка гіпотез про значущість коефіцієнтів регресії та кореляції рівносильна перевірці гіпотези про значущість лінійного рівняння регресії.
Розглянуту формулу оцінки коефіцієнта кореляції рекомендується застосовувати при великій кількості спостережень, а також якщоrне близько +1 або –1.
2.3 Інтервальний прогноз на основі лінійного рівняння регресії
У прогнозних розрахунках за рівнянням регресії визначається прогнозоване значенняyряк точковий прогнозхприхр= хkтобто шляхом підстановки в лінійне рівняння регресії відповідного значеннях.Однак точковий прогноз явно нереальний, тому він доповнюється розрахунком стандартної помилких,тобто.,і відповідно ми отримуємо інтервальну оцінку прогнозного значенняу*:
Вважаючи, що прогнозне значення факторахр= хkотримаємо наступну формулу розрахунку стандартної помилки значення, що передбачається по лінії регресії, тобто має вираз:
Розглянута формула стандартної помилки передбачуваного середнього значенняупри заданому значенніхkхарактеризує помилку положення лінії регресії. Величина стандартної помилки досягає мінімуму при і зростає в міру того, як «віддаляється» від у будь-якому напрямку. Іншими словами, чим більша різниця між тим більше помилка,з якою передбачається середнє значенняудля заданого значення . Можна очікувати найкращі результати прогнозу, якщо ознака-фактор х у центрі області спостережень х, і не можна очікувати хороших результатів прогнозу при видаленні. від. Якщо значення. виявляється за межами спостережуваних значеньх, що використовуються при побудові лінійної регресії, то результати прогнозу погіршуютьсяв залежності від того, наскільки . відхиляється від області значень факторах.
На графіку, наведеному на рис. 1, довірчі межі для являють собою гіперболи, розташовані по обидва боки від лінії регресії. Мал. 1 показує, як змінюються межі в залежності від зміни .: дві гіперболи по обидва боки від лінії регресії визначають 95% довірчі інтервали для середнього значенняупри заданому значенніх.
Однак фактичні значенняуваріюють близько середнього значення.Індивідуальні значенняуможуть відхилятися від величину випадкової помилки ε, дисперсія якої оцінюється як залишкова дисперсія на один ступінь свободи . Тому помилка передбачуваного індивідуального значенняуповинна включати не тільки стандартну помилку, але й випадкову помилкуs.
Мал. 1. Довірчий інтервал лінії регресії:
а -верхня довірча межа;б -лінія регресії;
в -довірчий інтервал для при ;
г -нижній довірчий кордон.
Середня помилка прогнозованого індивідуального значенняускладе:
При прогнозуванні з урахуванням рівняння регресії слід пам'ятати, що величина прогнозу залежить лише від стандартної помилки індивідуального значенняу,а й від точності прогнозу значення чинниках.Його величина може задаватися з урахуванням аналізу інших моделей, виходячи з конкретної ситуації, а також аналізу динаміки даного фактора.
Розглянута формула середньої помилки індивідуального значення ознакиуможе бути використана також для оцінки суттєвості відмінності передбачуваного значення та деякого гіпотетичного значення.