3 Кореляційний аналіз сигналів

Сенс спектрального аналізу сигналів полягає у вивченні того, як сигнал може бути представлений у вигляді суми (або інтеграла) простих гармонійних коливань і як форма сигналу визначає структуру розподілу частот амплітуд і фаз цих коливань. На противагу цьому завданням кореляційного аналізу сигналів є визначення міри подібності та відмінності сигналів або зрушених за часом копій одного сигналу. Введення заходу відкриває шляхи проведення кількісних вимірювань ступеня схожості сигналів. Буде показано, що існує певний взаємозв'язок між спектральними та кореляційними характеристиками сигналів.

3.1 Автокореляційна функція (акф)

Автокореляційна функція сигналу з кінцевою енергією – це значення інтеграла від добутку двох копій цього сигналу, зрушених щодо один одного на час τ, що розглядається у функції цього тимчасового зсуву τ:

.

Якщо сигнал визначено кінцевому інтервалі часу

, його АКФ перебуває як:

,

де

- інтервал перекриття зрушених копій сигналу.

Вважається, що чим більше значення кореляційної функції

при даному значенні, тим більшою мірою дві копії сигналу, зрушені на проміжок часу, схожі один на одного. Тому кореляційна функція і є мірою подібності для зрушених копій сигналу.

Захід, що вводиться таким чином, для сигналів, що мають форму випадкових коливань навколо нульового значення, має наступні характерні властивості.

Якщо зрушені копії сигналу коливаються приблизно такт друг до друга, це ознакою їх схожості і АКФ приймає великі позитивні значення (велика позитивна кореляція). Якщо копії коливаються майже протифазі,АКФ приймає великі негативні значення (антиподібність копій сигналу, велика негативна кореляція).

Максимум АКФ досягається при збігу копій, тобто за відсутності зсуву. Нульові значення АКФ досягаються при зрушеннях, у яких не помітно ні подібності, ні антиподібності копій сигналу (нульова кореляція, відсутність кореляції).

На рис.3.1 зображено фрагмент реалізації деякого сигналу інтервалі часу від 0 до 1 с. Сигнал випадково коливається навколо нульового значення. Оскільки інтервал існування сигналу кінцевий, то кінцева та її енергія. Його АКФ можна обчислити відповідно до рівняння:

.

А

втокореляційна функція сигналу, обчислена в MathCad відповідно до цього рівняння, представлена ​​на рис. 3.2. Кореляційна функція показує не тільки те, що сигнал схожий сам на себе (зсув τ=0), але й те, що деякою схожістю володіють і копії сигналу, зрушені одна щодо одної приблизно на 0.063 с (бічний максимум автокореляційної функції). На противагу цьому копії сигналу зрушені на 0.032 с, повинні бути антиподібні дуг на одного, тобто бути в деякому сенсі протилежними один одному.

На рис.33 показані пари цих двох копій. На малюнку можна простежити, що розуміється під схожістю та антисхожістю копій сигналу.

Кореляційна функція має такі властивості:

1. При τ = 0 автокореляційна функція приймає найбільше значення, що дорівнює енергії сигналу

2. Автокореляційна функція є парною функцією тимчасового зсуву.

3. Зі зростанням τ автокореляційна функція зменшується до нуля

4. Якщо сигнал не містить розривів типу δ - функцій, то

- безперервна функція.

5

. Якщо сигнал є електричнимнапругою, то кореляційна функція має розмірність.

Для періодичних сигналів у визначенні автокореляційної функції той самий інтеграл ділять ще період повторення сигналу:

.

Так введена кореляційна функція відрізняється такими властивостями:

значення кореляційної функції в нулі дорівнює потужності сигналу

,

розмірність кореляційної функції дорівнює квадрату розмірності сигналу, наприклад,

.

Наприклад обчислимо кореляційну функцію гармонійного коливання :

Використовуючи ряд тригонометричних перетворень, отримаємо остаточно:

Таким чином, автокореляційна функція гармонійного коливання є косінусоїдою з тим самим періодом зміни, що і сам сигнал. При зрушеннях, кратних періоду коливання, гармоніка перетворюється на себе і АКФ приймає найбільші значення, рівні половині квадрата амплітуди. Зсуви за часом, кратні половині періоду коливання, рівносильні зміщенню фази на кут

, у своїй змінюється знак коливань, а АКФ приймає мінімальне значення, негативне і дорівнює половині квадрата амплітуди. Зрушення, кратні чверті періоду, переводять, наприклад, синусоїдальне коливання в косінусоїдальне і навпаки. При цьому АКФ перетворюється на нуль. Такі сигнали, що у квадратурі друг щодо друга, з погляду автокореляційної функції виявляються зовсім схожими друг на друга.

Важливим є те, що вираз для кореляційної функції сигналу не увійшла його початкова фаза. Інформація про фазу загубилася. Це означає, що з кореляційної функції сигналу не можна відновити сам сигнал. Відображення

на противагу відображеннюне є взаємно однозначним.

Якщо під механізмомгенерування сигналів розуміти якогось деміурга, що створює сигнал з обраної ним кореляційної функції, то він зміг би створити цілу сукупність сигналів (ансамбль сигналів), що мають дійсно ту саму кореляційну функцію, але відрізняються один від одного фазовими співвідношеннями.

Акт вибору початкової фази вважатимуться:

актом прояву сигналом своєї вільної волі, незалежної від волі творця (виникнення окремих реалізацій деякого випадкового процесу),

результатом стороннього насильства над сигналом (введення у сигнал вимірювальної інформації, одержуваної під час проведення вимірювань будь-якої фізичної величини).

Аналогічно справи з будь-яким періодичним сигналом. Якщо періодичний сигнал з основним періодом Т має амплітудний спектр

і фазовий спектр, то кореляційна функція сигналу набуває наступного вигляду:

.

---