§ 42. Наближене обчислення певного інтегралу
Нехай потрібно знайти певний інтегралот безперервної функції (х). Якщо можна знайти первісну F(x) функції ƒ(х), то інтеграл обчислюється за формулою Ньютона-Лейбніца:
Але відшукання первісної функції іноді дуже складно; крім того, як відомо, не для будь-якої безперервної функції її первісна виражається через елементарні функції. У цих та інших випадках (наприклад, функція у = ƒ(х) задана графічно або таблично) вдаються до наближених формул, за допомогою яких певний інтеграл знаходиться з будь-яким ступенем точності.
Розглянемо три найбільш уживані формули наближеного обчислення певного інтегралу — формулу прямокутників, формулу трапецій, формулу парабол (Сімпсона), що ґрунтуються на геометричному сенсі певного інтегралу.
42.1. Формула прямокутників
Нехай на відрізку [а; b], а ŷ i = ƒ(сi) графіка функції у = ƒ(х). Взявши цю ординату за висоту, побудуємо прямокутник з площею h • ŷ i.
Тоді сума площ всіх n прямокутників дає площу ступінчастої фігури, що є наближеним значенням шуканого певного інтегралу
Формула (42.1) називається формулою середніх прямокутників.
Абсолютна похибка наближеної рівності (42.1) оцінюється за допомогою наступної формули:
де М2 - найбільше значення ƒ"(х) на відрізку [а; b],
Зазначимо, що для лінійної функції (ƒ(х)=kх+b) формула (42.1) дає точну відповідь, оскільки в цьому випадку ƒ"(х)=0.
42.2. Формула трапецій
Формулу трапецій одержують аналогічно формулі прямокутників: на кожному частковому відрізку криволінійна трапеція замінюється звичайною.
Розіб'ємо відрізок [а; b] на n рівних частин довжини абсцис точок поділу а = х0, x1, х2. b = хn (рис. 201). Нехай у0, у1. уn -
відповідні їм ординати графіка функції. Тоді розрахункові формули цих значень приймуть вигляд хi = a+h*i, уi=ƒ(xi), i= 0,1,2. n;
Замінимо криву у=ƒ(х) ламаною лінією, ланки якої з'єднують кінці ординат yi та yi+1 (i = 0,1,2. .,n). Тоді площа криволінійної трапеції приблизно дорівнює сумі площ звичайних трапецій з основами уi, yi+1 і висотою
Формула (42.2) називається формулою трапецій.
Абсолютна похибка Rn наближення, отриманого за формулою трапецій, оцінюється за допомогою формули М2, де Знову для лінійної функції у=kх +b формула (42.2) — точна.
42.3. Формула парабол (Сімпсона)
Якщо замінити графік функції у=ƒ(х) на кожному відрізку [xi-1;xi] розбиття не відрізками прямих, як у методах трапецій та прямокутників, а дугами парабол, то отримаємо більш точну формулу наближеного обчислення інтеграла
Попередньо знайдемо площу S криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком параболи у = ах 2 + bх + с, збоку - прямими х = -h, х = h і знизу - Відрізком [-h; h].
Виразимо цю площу через h, у0, y1, у2. З рівностей для ординат у (знаходимо, що з = y1,
Підставляючи ці значення з і в рівність (42.3), отримуємо
Отримаємо формулу парабол для обчислення інтеграла
Для цього відрізок [а; b] розіб'ємо на 2n рівних частин (відрізків) завдовжки крапками xi = х0 + ih (i = 0,1,2. 2n). У точках розподілу а = х0, х1, х2. x2n-2, x2n-1, x2n = b обчислюємо значення підінтегральної функції ƒ(х): у0, у1, у2. у2n-2, у2n-1,у2n, де уi=ƒ(хi) (див. рис. 203).
Замінюємо кожну пару сусідніх елементарних криволінійних трапецій із основами, рівними h, однією елементарною параболічною трапецією з основою, що дорівнює 2h. На відрізку [х0; х2] парабола проходить через три точки (х0; у0), (x1; y1), (x2; y2). Використовуючи формулу (42.4), знаходимо
Склавши отримані рівності, маємо
Формула (42.5) називається формулою парабол (або Сімпсона).
Абсолютна похибка обчислення за формулою (42.5) оцінюється співвідношенням
Зазначимо, що формула (42.5) дає точне значення інтеграла у всіх випадках, коли ƒ(х) — багаточлен, ступінь якого менша або дорівнює трьом (тоді f IV = 0).
Приклад 42.1. Обчислити, розбивши відрізок інтегрування [0; 2] на 4 частини.
Рішення: Маємо: ƒ(х) = х 3,
а) за формулою прямокутників:
б) за формулою трапеції:
в) за формулою парабол:
Точне значення інтегралу
Абсолютні похибки відповідних формул такі: а) 0,125; б) 0,25; в) 0.