9.1 Побудова розгорток багатогранних поверхонь
Для отримання розгортки багатогранної поверхні необхідно розрізати її по деяких ребрах і послідовно поєднати її межі з однією площиною так, щоб утворилася зв'язкова фігура.
Для однієї і тієї ж фігури вигляд поверхні розгортки може бути різним залежно від обраної послідовності розташування граней на розгортці.
Усі грані на розгортці зображуються в натуральну величину, тому побудова розгортки зводиться визначення натуральних величин окремих граней поверхні.
Як приклад розглянемо побудову повної розгортки поверхні тригранної піраміди SАВС (рис. 9.1).
Спочатку побудуємо основу піраміди, натуральну величину А111 якого визначимо методом обертання навколо проектованої прямої i. Величину бічних ребер SA, SB і SC можна визначити обертанням навколо прямої, що проектується j. Відрізки S2А2 ' , S2В2 ' і S2С2 ' дорівнюють довжинам відповідних бічних ребер заданої піраміди.
Побудову розгортки можна здійснити в наступному порядку.
На кожному з ребер підстави побудувати бічні грані, використовуючи знайдені натуральні величини бічних ребер S2А2 ', S2В2' і S2С2 піраміди.
Отримана пласка фігура є розгорткою поверхні цієї піраміди.
Розгортання бічної поверхні призми, заданої на рис. 9.2 виконаємо способом нормального перерізу.
За умовою бічні ребра призми є паралельними площині П2. Перетнемо призму площиною ∑, перпендикулярною її бічним ребрам. Перетин призми такою площиною називається нормальним. Натуральний вигляд нормального перерізу M4N4F4 на рис. 9.2 знайдено за допомогою заміни площин П1 на П4.
Знаючи величини сторін нормального перерізу до довжини бічних ребер, можна визначити натуральний виглядкожної грані та побудувати розгортку.
Якщо розрізати призму по одному з бічних ребер і розгорнути бічну поверхню, то сторони нормального перерізу виявляться на прямій, перпендикулярній до ребрів.
Порядок побудови розгортки бічної поверхні призми.
Визначимо натуральний вигляд M4N4F4 нормального перерізу MNF.
Через точки M0, N0, F0, M0 проводимо прямі, перпендикулярні до прямої а0, і відкладаємо на них відрізки, рівні відрізкам бічних ребер призми, з урахуванням їх розташування по відношенню до площини ∑ (вище або нижче). Ф0 – розгортка бічної поверхні призми.
Побудова наближених розгорток поверхонь, що розгортаються.
Теоретично можна отримати точну розгортку поверхні, що розгортається, але практично це виконати неможливо і немає необхідності. Тому при розбудові розгорток поверхонь зручно використовувати графічні прийоми. Криволінійні поверхніапроксимують(близько помічають) поверхнями вписаних або описаних багатогранників, грані яких трикутники або чотирикутники; будують розгортки цих багатогранників і виконують обводи кінцевих точок ребер розгорнутої поверхні.
При графічному виконанні розгортки завжди доводиться проводити випрямлення чи розгинання кривих ліній, що належать поверхні. З цією метою застосовується спосібмалих хорд. Як показує назву способу, він полягає в тому, що в криву (плоску або просторову), що спрямовується або розгинається, вписується ламана лінія, ланки якої представляють невеликі хорди аналізованої кривою. Якщо криву потрібно спрямувати, її хорди послідовно відкладаються на деякій прямий і отриманий відрізок приймаються за наближену довжину дуги кривої.
Апроксимуючи задану розгорткуповерхню поверхнею вписаного або описаного багатогранника, отримуємо в більшості випадків трикутні або чотирикутні грані. У тому випадку, коли апроксимуюча багатогранна поверхня має трикутні грані, спосіб побудови розгортки називають способомтриангуляції.
Як приклад застосування способу тріангуляції розглянемо побудову розгортки конічної поверхні, заданої спрямовуючою і вершиною S (рис. 9.3).
Апроксимуємо конічну поверхню поверхнею незамкнутої піраміди, вписану в задану поверхню. За основу піраміди приймемо ламану, вписану в напрямну а. Довжина відрізків ломанної лінії вибирається в залежності від необхідної точності отримання розгортки: відрізки ломанної вибираються тим менше, чим вище вимога точності розгортки, що отримується.
Побудуємо розгорнення цієї піраміди. Ребра її основи у разі на площину П1 проектується в натуральну величину. Для визначення дійсних величин бічних ребер вписаного багатогранника використовуємо спосіб обертання. Якщо як напрямна виступає деяка просторова крива, або площина плоскої кривої займає загальне положення, то необхідно ще додатково визначити натуральні величини відрізків, що складають ламану, вписану в напрямну.
Порядок побудови наближеної розгортки конічної поверхні:
На довільній прямій l від її довільної точки, прийнятої за S відкладаємо відрізок А0S0, / А0S0/ = /А2 ' S2/.
Послідовно будуємо на розгортці трикутники 10S020, 20S030 і т.д., відповідно конгруентні граням апроксимуючого багатогранника.
Ломанну лінію А010 2030 В0 замінюємо на лекальну криву, що проходить через вершини ламаної. Отримана на рис. 9.3 фігура Ф0 є наближеноюрозгорткою заданої конічної поверхні.
При побудові наближеної розгортки циліндричної поверхні як апроксимуюча використовується поверхня призми. Розглянемо побудову наближеної розгортки циліндричної поверхні способом нормального перерізу.
На рис. 9.4 показаний приклад побудови циліндричної поверхні.
Попередньо в задану поверхню слід вписати призму, бічні ребра якої збігаються з деякими утворюючими циліндричними поверхнями. Подальша побудова розгортки аналогічна до побудови розгортки призми (див. рис. 9.2).
Порядок побудови розгортки наступний:
Розсічемо циліндр площиною ∑, перпендикулярною утворюючим.
Натуральний вид нормального перерізу визначимо за допомогою заміни площини П1 на П4∑∑.
Спрямуємо криву нормального перерізу, послідовно відклавши довжини хорд нормального перерізу /M2N2/ = /M4N4/, /N2K2/ = /N4K4/, /К2F2/ = /K4F4/ на довільній прямій а2.
Через точки M2 N2 К2 F2 проведемо прямі, перпендикулярні а2, відкладемо на них відрізки, рівні відрізкам відповідних утворюють (ребер призми) і виконаємо обведення кінцевих точок утворюють.
Отримана плоска фігура є наближеною розгорткою циліндра.
Слід зазначити, що якщо утворювальні циліндричної поверхні не паралельні площині проекцій, то доцільно перетворити комплексний креслення так, щоб ті, що утворюють даної поверхні, зайняли положення прямого рівня.
Побудова умовних розгорток поверхонь, що не розгортаються.
У техніці досить часто доводиться зустрічатися із завданням побудови розгорток таких поверхонь, які належать до тих, що не розгортаються. Прикладом можуть бути великі поверхнісферичних резервуарів, що виконуються з листової сталі, покрівельні перекриття, окремі тонкостінні оболонки. Теоретично у поверхонь, що не розгортаються, розгорток бути не може. Однак на практиці доводиться вдаватися до побудови так званих розгорток зазначених поверхонь, які прийнято називати умовними .
Для побудови умовних розгорток задану поверхню приблизно замінюють (апроксимують) деякою сукупністю поверхонь, що розгортаються, розгортки яких і приймають за умовну розгортку даної нерозгортається поверхні. Умовна розгортка поверхні, що не розгортається, принципово відрізняється від наближеної розгортки поверхні, що розгортається. При побудові наближеної розгортки її можна практично з будь-яким ступенем точності наблизити до заданої поверхні, збільшуючи кількість граней багатогранника, що замінює. Для умовної розгортки це не може бути здійснено, т.к. скільки б ми не збільшували ступінь наближення, отримаємо в результаті не розгорнення досліджуваної поверхні, а розгортки поверхонь, що замінюють.
Для побудови умовних розгорток поверхонь, що не розгортаються, застосовується спосіб тріангуляції. Розглянемо з прикладу як будується умовна розгортка коноїда Ф (а,b, П1) (рис. 9.5).
За допомогою утворюючих ділимо цю поверхню на частини. Кожен із збудованих т.ч. на поверхні неплоських чотирикутників замінюємо парою плоских трикутників, наприклад: 11 ' 2 ', 12 ' 2, 22 ' 3 ', 23 ' 3 і т.д.
Умовну розгортку коноїда будуємо як розгортку вписаної багатогранної поверхні, гранями якої є трикутники 11 ' 2 ', 12 ' 2, 22 ' 3 ' , 23 '3, 33 ' 4 ' , 34 ' 4 , Сторони цих 3 ' 33 ' , 44 ' на горизонтальну площину проектуються внатуральну величину. Натуральні величини інших сторін трикутників можна визначити шляхом прямокутного трикутника.
По трьох сторонах будуємо перший трикутник 1010 20 , до якого послідовно прибудовуємо інші. З'єднавши вершини обмежують ламаних плавними кривими, отримаємо умовну розгортку коноїда Ф0.
Поверхні обертання загального виду відносяться до класу тих, що не розгортаються. Тому для таких поверхонь будують умовні розгортки. Метод отримання зазначених розгорток полягає у наступному. Розглянуту поверхню приблизно замінюють декількома касками лінійних поверхонь, що розгортаються, вписаних в дану поверхню або описаних біля неї. Лінійчасті поверхні, своєю чергою, апроксимують багатогранними поверхнями. Сукупність розгорток цих багатогранних поверхонь і приймають умовно за розгортку поверхні обертання, що не розгортається.
Умовну розгортку поверхні обертання можна отримати способом допоміжних циліндрів. Як видно з назви, цей спосіб полягає в заміні поверхні обертання іншою поверхнею, що складається з ділянок циліндричних поверхонь.
Наприклад побудуємо розгортку сфери способом допоміжних циліндрів (рис. 9.6). Побудови виконаємо у такому порядку:
Розділимо задану поверхню обертання меридіанами на кілька рівних частин – часток. Чим більше часток, тим вищий ступінь наближення.
Кожну частку замінимо ділянкою описаної циліндричної поверхні, у якої напрямна – середній напівмеридіан частки, а утворюють перпендикулярні напрямної.
Циліндрична поверхня стосується заданої поверхні обертання в точках середнього напівмеридіану частки. Межами для ділянки циліндричноїповерхні служать лінії перетину площин меридіанів, що обмежують долю, що розглядається, з відповідною циліндричною поверхнею.
Кожну ділянку циліндричної поверхні доцільно розвернути способом нормального перерізу, замінюючи циліндричну поверхню поверхнею призми.
Розглянемо послідовність побудови умовної розгортки четвертої частини сфери, наприклад, ділянку між меридіанами a та b. Щоб умовна розгортка сфери була з великим наближенням до самої сфери, слід ділити сферу на 12 часток. Але в даному випадку зроблено грубу апроксимацію з метою зробити наочними всі побудови. Середній меридіан m частки (нормальний переріз апроксимуючої циліндричної поверхні) випрямляємо методом малих хорд.
Ділянки паралелей k, k ', k ” тощо. замінимо відрізками дотичних t, t , t і т.д., які є утворюючими циліндричної поверхні. Відрізки утворюють проектуються без спотворення П1.
Меридіан m на розгортці випрямляється у відрізок 1070. Через точки 2030405060 проводимо прямі, перпендикулярні 1070, які відповідають утворюючим циліндра.
На рівні точки 20 ширина частки розгортки дорівнює відрізку t1 ” , лише на рівні точки 30 - t1 ' тощо. Кінці цих відрізків з'єднаємо плавними кривими та отримаємо умовну розгортку однієї частки поверхні обертання. Скопіювавши отриману фігуру за кількістю часток, отримаємо повну умовну розгортку сфери. Аналогічно можна виконати розгорнення будь-якої поверхні обертання.
Умовну розгортку поверхні обертання можна також побудувати способом допоміжних конусів. На рис. 9.7 поверхня обертання апроксимована відсіками двох конічних поверхонь та однієї циліндричної та побудовані розгортки цих трьох відсіків. У зв'язку з тим, що розглянутаповерхня симетрична, можна побудувати розгортку її половини.
Поняття процес формування аксонометрической проекції дано у розділі 1.3. Розглянемо докладніше деякі властивості аксонометричних проекцій та способи побудови найбільш поширених на практиці видів аксонометричних проекцій.