АКСІОМАТИЧНИЙ МЕТОД - Філософія
3 АКСІОМАТИЧНИЙ МЕТОД
Аксіоматичний метод дає можливість робити висновки та відкривати закони без опори на спостереження та експерименти, а через логічний висновок.
Мабуть, одним із перших успішних застосувань аксіоматичного методу стала геометрія давньогрецького математика Евкліда (вона з'явилася десь у 330–320 рр. до н.е.). Евклідову аксіоматичну систему загалом можна охарактеризувати в такий спосіб. Вивчення навколишнього простору дало можливість описати деякі властивості об'єктів, які отримали назву точка, пряма, площина, трикутник, коло тощо. Декілька тверджень про ці об'єкти Евклід вибрав як аксіом або постулатів. Їхня істинність, на його думку, не потребувала доказу через їхню очевидність і легке розуміння. До аксіом він відніс судження: «Через дві точки можна провести тільки одну пряму», «Через пряму і точку поза нею може проходити лише одна площина» та ін. які зазвичай називаються теоремами.
Задля справедливості треба сказати, що докази Евкліда (як і докази шкільної геометрії, яку ми всі вивчили) супроводжуються численними кресленнями. І знадобилося чимало часу, щоб дійти очевидної думки, що креслення не повинні бути суттєвою частиною самого процесу доказу. Вони повинні або полегшувати процес доказу, або допомагати стежити за перебігом доказу, або нарешті сприяти запам'ятовуванню доказу. Цей недолік геометрії Евкліда виправив Д. Гільберт у книзі «Підстави геометрії» (1999).
Та обставина, що аксіоматично побудована геометрія даваланадзвичайно, простий, зручний та економний спосіб встановлення істинності геометричних міркувань справляло сильне враження. Аксіоматичний метод почали намагатися застосовувати у математичних теоріях, а й у філософії (Спіноза). Представники дуже багатьох наук сподівалися, що зрештою багато теорій за допомогою аксіоматики можна довести до такої ж витонченості та досконалості як евклідову геометрію. Аксіоматичний метод зазнав ретельного вивчення. Перші найважливіші результати були отримані знову ж таки в геометрії.
П'ятий постулат Евкліда (його можна сформулювати так: дві паралельні прямі не перетинаються, скільки ми їх не продовжували) здавався математикам менш очевидним, ніж інші. Було зроблено безліч спроб довести цей постулат, шляхом виведення його з інших постулатів евклідової системи. Але всі ці спроби зазнали невдачі. 1923 року М.М. Лобачевський й у 1933 р. Бойаи побудували геометрію, у якій постулатом фігурувало заперечення п'ятого постулату Евкліда, тобто. як аксіома була взята думка про те, що через точку поза прямою можна провести нескінченно багато прямих, паралельних даній прямій. Спочатку багато математиків зустріли неевклідову геометрію в багнети через її явну суперечність сприйманому фізичному простору. Проте, 1950 р. Фр. Клейн знайшов дуже вдалу інтерпретацію цієї геометрії. Якщо під «площиною» розуміти нутро якогось кола евклідової площини, під «точкою» - точку цього кола, а під «прямою» - хорду його кола, то всередині кола виконуватимуться всі аксіоми та теореми геометрії Лобачевського-Бойаї. З цих відкриттів було зроблено важливі висновки щодо будь-якої аксіоматичної системи: аксіоми цієї системи повинні задовольнятивимогам незалежності, повноти, несуперечності, і вона не повинна бути виродженою.
Вимога незалежності означає, що не одна з аксіом не повинна виводитися як теорема з інших. Повнота аксіоматики якоїсь теорії означає, що з аксіом за правилами логіки повинні виводитись всі твердження цієї теорії. Система аксіом має бути несуперечливою. З них не повинно виводитись якесь твердження разом зі своїм запереченням. Якщо це трапляється, то згідно із законом виключеного третього одне з суджень обов'язково хибне. Яке, встановити не можна, бо й те й інше виводитимуться за законами логіки. Нарешті, система аксіом буде невироджена, якщо вдається знайти якісь об'єкти (фізичні або теоретичні), які описує теорія, виведена з цих аксіом.
Але ще більше питань, пов'язаних з аксіоматичним методом, виникло з відкриттям у XX1 столітті парадоксів теорії множин. Вони являли собою міркування цілком справедливі з інтуїтивної (змістовної) точки зору, проте призводять до протиріч. Деякі з них, наприклад, парадокс «Брехень» були відомі з давніх-давен. Нагадаємо, що суть цього парадоксу в наступному: хтось каже: «Я брешу». Якщо при цьому він бреше, то сказане їм брехня, і, отже, не бреше. Якщо ж при цьому він не бреше, то сказане їм істина, і, отже, бреше. Так що в будь-якому випадку він бреше і не бреше одночасно. Однак зв'язок парадоксу «брехун» з теорією множин не був усвідомлений. Це трапилося тоді, коли з аксіоматичної теорією множин, запропонованою Г. Кантором та ін стали виводитися аналогічні парадокси. Найпростіший із них – парадокс Беррі (2006). Суть його така: безліч всіх натуральних чисел, які можуть бути названі українською за допомогою числа складів (аболітер), менше деякого кінцевого натурального числа, безумовно, звичайно, отже, має існувати найменше з чисел, які не можуть бути так названі. Але «найменше ціле число, яке не може бути названо українською менше, ніж у п'ятдесят складів» (підрахуйте число складів) є виразом української мови, що містить менше п'ятдесяти складів. Відомі різні модифікації цього феномена. p align="justify"> При дослідженні систем аксіом арифметики, теорії множин та інших аксіоматичних теорій виявилося, що не існує повної системи аксіом, з яких можна було б вивести таку просту теорію як арифметика (К.Гедель). Виявилося так, що проблеми несуперечності систем аксіом теорії множин та інших теорій надзвичайно важкі. При спробах їх вирішення математики та логіки розкололися на ворогуючі між собою угруповання. На думку Гільберта та його формалістської школи, щоб позбавити математику від парадоксів потрібно сформулювати її у вигляді аксіоматичної теорії, після чого слід довести несуперечність цієї теорії. На думку інтуїціоністів, очолюваних Бауером, щоб позбавити математику парадоксів, треба відмовитися від визнання універсального характеру деяких законів логіки, зокрема закону виключеного третього.
Отже, суть аксіоматичного методу наступного. У теорію вводяться без визначення деякі об'єкти, природа яких визначено. Потім за допомогою аксіом задають певні відносини між об'єктами. Побудувати аксіоматичну теорію – це означає вивести логічні наслідки з аксіом, відмовившись від будь-яких інших пропозицій щодо природи об'єктів, що розглядаються. Для побудованої таким чином теорії прагнуть довести повноту, несуперечність, незалежність та невиродженість системи її аксіом.
4ГІПОТЕКО-ДЕДУКТИВНИЙ МЕТОД
Гіпотетико-дедуктивний метод є своєрідним синтезом аксіоматичного та експериментального методів. При побудові теорії цим методом спочатку кілька гіпотез чи припущень об'єднуються у систему аксіом. Потім із цієї змістовної аксіоматики логічними засобами витягуються слідства. І після цього шукають підтвердження цих наслідків за допомогою спостережень чи експериментів.
Отже, відмінність гіпотетико-дедуктивного методу від аксіоматичного методу полягає у дослідницькій ситуації. При аксіоматичному методі виведення положень із аксіом є свідченням істинності цих положень. Що ж до гіпотетико-дедуктивного методу істинність положень, виведених із припущень, є свідченням істинності цих припущень.
Гіпотетико-дедуктивний метод застосовується здебільшого в тих науках, які широко використовують математичні методи і, насамперед у теоретичній механіці, фізиці, астрономії та ін. . У цих науках доводиться насолоджуватися простими індуктивними узагальненнями.
1. Логіка. - Хатнюк В.С. 2005 р.
2. Логіка – мистецтво мислення. Тимірязєв А.К. - К. 2000 р.
3. Філософія і життя - журнал-К. 2004 р.
4. Історія логіки та мислення – Касінов В.І. 1999.
5. Логіка та людина - М. 2000.
6. Філософія життя. Матюшенко В.М. - Москва - 2003 р.
7. Філософія буття. Марікова А.В. - К. 2000 р.