АЛЕ_лекція--10
(неприведені багаточлени, їх властивості; канонічне розкладання в кільці багаточленів; визначення алгебраїчно замкнутого поля, основна теорема алгебри; канонічне розкладання багаточленів над полем комплексних чисел і над полем дійсних чисел; властивості багаточленів з речовими коефіцієнтами; алгоритм відділення кратних
КАНОНІЧНЕ РОЗЛОЖЕННЯ МНОГОЧЛЕНІВ
У 5-й лекції було доведено розкладність будь-якого цілого на прості множники
у кільці цілих чисел. Аналогічне розкладання можливе і в кільці багаточленів P[t]. Тут ролі простих чисел виступають неприводимые багаточлени.
Визначення 1. Відмінний від константи багаточлен f (f 2 P [t]) називається неприведеним над полем P (або неприведеним у полі P ), якщо він не ділиться на жодний багаточлен g (g 2 P [t]), у якого 0 1, тобто. нехай багаточлен h має (n 1) коріння в полі P і допускає розкладання
h(t) = a 0 (t c 1 ) : : : (t c n 1 ); a 0; c i 2 P; i = 1; : : : ; n 1:
Індукційний перехід. За визначенням алгебраїчно замкнутого поля P багаточлен f 2 P [t] ступеня n в P має принаймні один корінь c (c 2 P ), отже, його можна представити у вигляді f(t) = (t c )h(t) , де многочлен h має ступінь n 1. У силу індукційного припущення f можна записати, поклавши c = c n наступним чином:
f(t) = a 0 (t c 1 ) : : : (t c n 1 )(t c n ); a 0; c i 2 P; i = 1; : : : ; n;
тобто. многочлен f має n коренів, серед яких можуть бути рівні, і допускає розкладання лінійних множників (6).
Доведемо, що многочлен f не може мати коріння, відмінне від c 1 ; : : : ; c n. Припустимо неприємне, нехай c (c 2 P ) корінь многочлен f, відмінний від c 1 ; : : : ; c n. Тоді теорема Безу f ділиться на t c , отже:
f = (t c) h;deg h = n 1:
Як показано вище, багаточлени h і f можна подати у вигляді (7) та (8) відповідно. Врахуємо ці уявлення у рівності f = (t c )h, в результаті отримаємо:
a 0 (t c 1 ) : : : (t c n 1 )(t c n ) = (t c )a 0 (t c 1 ) :: : (t c n 1 ):
У кільце многочленів P [t] допустиме скорочення на ненульові множники, в результаті такого скорочення (9) приходимо до рівності t c n = t c , з якого випливає, що c = c n . Це суперечить припущенню про наявність багаточлена f кореня, відмінного від c 1 ; : : : ; c n.
Єдиність (з точністю до порядку проходження множників) розкладання
(6) випливає з доведеного вище утв. 1, правильний для кільця багаточленів над будь-яким полем. /
Наслідок 1. В замкнутому алгебраїчному полі непривідними є тільки багаточлени першого ступеня.
Доведення. З утв. 2 слід, що будь-який многочлен ступеня більше 1 має в замкнутому алгебраїчному полі більше одного кореня і розкладається у добуток багаточленів меншого ступеня, тобто. не є неприводимым, та якщо з св-ва 1 неприводимых багаточленів слід, що многочлены першого ступеня неприведені з будь-якого поля. /
Канонічне розкладання багаточленів над замком алгебри
У розкладанні (6) можуть бути рівні множники, об'єднуючи їх, приходимо до канонічного розкладання багаточлена f 2 P [t] ступеня n (n 1) над замком алгебри P , це розкладання, як доведено в утв. 2, єдино з точністю до порядку проходження множників:
f(t) = a 0 (t c 1 ) k 1 : : : (t c s ) k s ;
a 0; c 1; : : : ; c s 2 P , c i 6 = c j при i 6 = j i; j = 1; : : : ; s;
k 1; : : : ; k s 2 N, k 1 + : : : + k s = deg f.
Тут з 1; : : : ; c s попарно різне коріння багаточлена f у полі P .З розкладання (10) та її єдиності випливає, що інших коренів многочлен f у полі P не має. Крім того, з канонічного розкладання (10) випливає, що для кожного з коренів c i (i = 1; : : : ; s) багаточлен f ділиться на (t c i ) k i і не ділиться на (t c i ) k i +1 це, в відповідно до визначення k-кратного кореня многочлена (опр. 4 лекції 9), означає, що показники k 1 ; : : : ; k s (10) рівні кратностями відповідних коренів многочлена f.
Сформулюємо без підтвердження основну теорему алгебри. Вона доводиться методами математичного аналізу.
Основна теорема алгебри. Поле комплексних чисел замкнено алгебраїчно.
Наслідок 2. Для будь-якого многочлена f 2 C[t] над полем комплексних чисел існує єдино канонічне розкладання на лінійні множники (10).
Доказ випливає з основної теореми алгебри та утв. 2 для замкнутого алгебри. /
Багаточлени з речовими коефіцієнтами
Розглянемо багаточлени з речовими коефіцієнтами. Як зазначалося вище, поле дійсних чисел не є замкненим алгебри. Тому многочлен ступеня n над полем дійсних чисел R може мати n коренів у полі
Сформулюємо та доведемо ряд допоміжних тверджень про властивості коренів багаточленів з речовими коефіцієнтами та знайдемо канонічне розкладання багаточленів над полем R.
Твердження 3. Якщо комплексне число z є коренем багаточлена з речовими коефіцієнтами, комплексно сполучене число z також є коренем цього многочлена.
Доказ полягає просто у перевірці цього факту. Нехай заданий багаточлен f(t) = a 0 t n + a 1 t n 1 + : : : + an , a 0 ; : : : ; a n 2 R та нехай z комплексний корінь f, тобто.
f(z) = 0; a 0 z n + a 1 z n 1 : : :+ a n = 0:
Властивості операції комплексного сполучення (лекція 6) дозволяють записати такі рівності: