Алгебраїчні та трансцендентні числа
яке за a = 1 служило нам визначення суми геометричної прогресії. Припускаючи теорему Гауса доведеної, припустимо, що a = a 1 є корінь рівняння (17), отже
Віднімаючи цей вираз з f(x) і перегруповуючи члени, ми отримаємо тотожність
f(x) = f(x) − f(a 1 ) = (x n − an 1 ) + a n−1 (x n−1 − an 1 −1 ) + . . . + a 1 (x - a 1).
(21) Користуючись тепер формулою (20), ми можемо виділити множник x − a 1 з кожного члена і потім винести його за дужку, причому ступінь багаточлена, що залишається в дужках, стане на одиницю меншою. Перегруповуючи знову члени, ми отримаємо тотожність
де g(x) - багаточлен ступеня n − 1:
g(x) = x n−1 + b n−2 x n−2 + . . . + b 1 x + b 0 .
(Обчислення коефіцієнтів, позначених через b, нас тут цікавить.) Застосуємо далі той самий міркування до многочлену g(x). За теоремою Гауса існує корінь a 2 рівняння g(x) = 0, так що
де h(x) — новий багаточлен ступеня вже n − 2. Повторюючи ці міркування n − 1 раз (мається на увазі, звичайно, застосування принципу математичної індукції), ми зрештою приходимо до розкладання
f(x) = (x − a 1 )(x − a 2 ). . . (x - a n).
З тотожності (22) випливає не тільки те, що комплексні числа a 1 , a 2 ,
. . . , a n суть коріння рівняння (17), а й те, що інших коренів рівняння (17) немає. Справді, якби число y було коренем рівняння (17), то з (22) слід би
f(y) = (y − a 1 )(y − a 2 ). . . (y - a n) = 0.
Але ми бачили (стор. 115), що добуток комплексних чисел дорівнює нулю в тому і лише тому випадку, якщо один із множників дорівнює нулю. Отже, один із множників y − a r дорівнює 0, тобто y = a r , що потрібно встановити.
§ 6. Алгебраїчні та трансцендентні числа
1. Визначення та питання існування. Алгебраїчним числом називається всяке число x, дійсне або уявне, що задовольняє деяке рівняння алгебри виду
a n x n + a n−1 x n−1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 (n & gt; 1, a n 6 = 0),
130 МАТЕМАТИЧНА ЧИСЛОВА СИСТЕМА гл. II
де числа a і цілі. Так, наприклад, число 2 алгебраїчне, тому що воно задовольняє рівняння
Таким же чином алгебраїчним числом є будь-який корінь будь-якого рівняння з цілими коефіцієнтами третього, четвертого, п'ятого, будь-якої міри, і незалежно від того, виражається або не виражається він у радикалах. Поняття алгебраїчного числа є природне узагальнення поняття раціонального числа, яке відповідає окремому випадку n = 1.
Не всяке дійсне число є алгебраїчним. Це випливає з наступної, висловленої Кантором, теореми: безліч всіх чисел алгебри рахунків. Оскільки безліч всіх дійсних чисел незліченна, то обов'язково повинні існувати дійсні числа, які не є алгебраїчними.
Вкажемо один із методів перерахунку безлічі алгебраїчних чисел. Кожному рівнянню виду (1) порівняємо ціле додатне число
h = a n + a n−1 +. . . + a 1 + a 0 + n,
яке назвемо заради стислості «висотою» рівняння. До кожного фіксованого значення n існує лише кінцеве число рівнянь виду (1) з висотою h. Кожне з таких рівнянь має якнайбільше n коренів. Тому може існувати лише кінцеве число чисел алгебри, що породжуються рівняннями з висотою h; отже, всі числа алгебри можна розташувати у вигляді послідовності, перераховуючи спочатку ті з них, які породжуються рівняннями висоти 1, потім - висоти 2 і т. д.
Цедоказ лічильності безлічі алгебраїчних чисел встановлює існування дійсних чисел, які не є алгебраїчними. Такі числа називають трансцендентними (від латинського transcendere – переходити, перевершувати); таке найменування їм дав Ейлер, тому що вони «перевершують потужність методів алгебри».
Канторово доказ існування трансцендентних чисел не належить до конструктивних. Теоретично міркуючи, можна було б побудувати трансцендентне число за допомогою діагональної процедури, що проводиться над уявним списком десяткових розкладів всіх чисел алгебри; але така процедура позбавлена будь-якого практичного значення і не призвела б до числа, розкладання якого в десятковий (або інший) дріб можна було б насправді написати. Найбільш цікаві проблеми, пов'язані з трансцендентними числами, полягають у доказі того, що певні, конкретні числа (сюди відносяться числа p і e, про які див. є трансцендентними.
АЛГЕБРАЇЧНІ ТА ТРАНСЦЕНДЕНТНІ ЧИСЛА
**2. Теорема Ліувіля та конструювання трансцендентних чисел. Доказ існування трансцендентних чисел ще до Кантора було надано Ж. Ліувілем. Воно дає можливість насправді конструювати приклади таких чисел. Доказ Ліувіля важче, ніж доказ Кантора, і це не дивно, оскільки сконструювати приклад, взагалі кажучи, складніше, ніж довести існування. Наводячи нижче доказ Ліувіля, маємо у вигляді лише підготовленого читача, хоча розуміння доказу цілком достатньо знання елементарної математики.
Як виявив Ліувілль, ірраціональні алгебраїчні числа мають ту властивість, що вони не можуть бути наближені раціональними числами здуже великим ступенем точності, якщо не взяти знаменники наближуючих дробів надзвичайно великими.
Припустимо, що число z задовольняє рівняння алгебри з цілими коефіцієнтами
f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +. . . + a n x n = 0 (a n 6 = 0),
але не задовольняє такому ж рівнянню нижчого ступеня. Тоді
кажуть, що саме x є число алгебри ступеня n. Так наприклад,
число z = 2 є числом алгебри ступеня 2, так як задовольняє рівняння x 2 − 2 = 0 √ ступеня 2, але не задовольняє рівняння першого ступеня; число z = 3 2 - ступеня 3, тому що задовольняє рівняння x 3 - 2 = 0, але не задовольняє (як ми покажемо в розділі III) рівняння нижчого ступеня. Алгебраїчне число ступеня n & gt; 1
не може бути раціональним, тому що раціональне число z = p q удо-
задовольняє рівняння qx − p = 0 ступеня 1. Кожне ірраціональне число z може бути з будь-яким ступенем точності наближено за допомогою раціонального числа; це означає, що завжди можна вказати послідовність раціональних чисел
з необмежено зростаючими знаменниками, що володіє тим-
Теорема Ліувіля стверджує: яке б не було число алгебри z ступеня n > 1, воно не може бути наближене за допомогою раци-