Аналітичний метод кінематичного дослідження, Лекції та приклади вирішення завдань механіки
При цьому методі ланки механізму, його характерні розміри та переміщення ланок видаються у вигляді векторів. У результаті формуються векторні багатокутники, виходячи з яких складаються векторні рівняння.
Розглядаючи ці векторні рівняння в проекціях на осі довільно обраної системи координат, отримують системи рівнянь алгебри, вирішуючи які виводять рівняння для визначення переміщень (лінійних або кутових) досліджуваних ланок.
Як параметр виступає узагальнена координата початкової ланки (зазвичай кут повороту вхідного кривошипа).
Задаючи різні значення узагальненої координати, за отриманими рівняннями визначають положення досліджуваних ланок у різних положеннях механізму. Подвійним диференціюванням рівнянь переміщень отримують рівняння для визначення швидкостей (лінійних або кутових) та прискорень (лінійних або кутових) досліджуваних ланок.
Однак, як показує практика, рівняння швидкостей і прискорень навіть для простих механізмів виходять дуже громіздкими, з ймовірністю отримання помилок при багатоступінчастому диференціювання.
Крім того, такий підхід вимагає окремого програмування для кожного механізму при використанні ЕОМ. Тому (як було показано вище) зручно використовувати аналітичний метод у комбінації з графічним методом як алгоритм машинного розв'язання задачі. Такий підхід робить вирішення завдання дуже раціональним.
Особливістю груп Асура II класу 1-го та 2-го видів є те, що з геометричної точки зору вони мають два рішення. Тому застосування загального принципу складання аналітичних рівнянь, викладеного вище, призводить до розв'язання складних квадратних рівнянь, що мають два корені.
Виникає нове завдання виявлення того кореня, який відповідає заданому механізму. Для спрощення розв'язання задачі треба скористатися такими рекомендаціями:
- у групі 1-го виду при складанні векторного багатокутника необхідно «рухатися» від одного крайнього шарніра до іншого, а не за ланками групи;
- у групі 2-го виду при складанні суми проекцій необхідно провести допоміжну вісь перпендикулярно напрямної, по якій рухається повзун, та розглянути побудований векторний багатокутник у проекції на цю вісь.
Зображений на малюнку 11 механізм містить обидва ці випадки. При формуванні векторного багатокутника для першої частини цього механізму, що включає групу Асура другого класу першого виду, проведено вектор AC, що з'єднує крайні шарніри A і C цієї групи (рисунок 11б).
В результаті визначаються кут і розмір AC, після чого в трикутнику ABC стають відомими всі три сторони. По теоремі косинусів можна визначити будь-який з кутів цього трикутника. У разі визначається кут α (рисунок 11в), т.к. для подальшого розв'язання задачі необхідно знати кут φ2.
Векторний багатокутник, що включає групу другого класу другого виду, розглядається в проекції на вісь Y1, проведеної перпендикулярно напрямної ABD (рисунок 11в). Отримане рівняння алгебри дозволяє визначити кут β і далі шуканий кут φ5 .
Конкретно аналітичне визначення кутового переміщення вихідної ланки 5, представленого малюнку 11 механізму (з урахуванням викладених вище рекомендацій), матиме наступний вид:
За цими рівняннями за допомогою ЕОМ визначається кутове переміщення вихідної ланки φ5 рад, кутова швидкість ω5рад/с, кутове прискорення ε5 рад/с 2 для “n” положень механізму.