Арифметичний корінь Версія для друку
Для того щоб зрозуміти, що такеарифметичний корінь розв'яжемо просте завдання знаходження сторони квадрата площа якого дорівнює 9 см 2 . Якщо приймаємо, що сторона квадрата А см, то складаємо відповідно до умов задачі рівняння:
Довжина сторони квадрата може бути негативним числом, тому шукана сторони квадрата 3 див.
При розв'язанні рівняння ми знайшли числа 3 і -3, квадрати яких дорівнюють 9. Кожне з цих чисел називають квадратним коренем із числа 9. Невід'ємний із цього коріння, тобто число 3, називають арифметичним коренем числа.
Цілком логічно прийняти той факт, що корінь можна знаходити з чисел третього ступеня (кубічний корінь), четвертого ступеня і так далі. І в принципі корінь – це зворотна операція до зведення у ступінь.
Корнем n-го ступеня з числа α є таке число b, де b n = α.
Тут n-натуральне число прийнято називати показником кореня (або ступенем кореня); як правило, воно більше або дорівнює 2, тому що випадок n= 1 банально.
Позначають на листі так символ (знак кореня) у правій частині називаєтьсярадикалом. Число α -підкорене вираз. Для нашого прикладу зі стороною рішення могло мати такий вигляд: тому що(±3) 2 = 9.
Ми отримали позитивне та негативне значення кореня. Ця особливість ускладнює розрахунки. Щоб домогтися однозначність, було введено поняття арифметичного кореня, значення якого завжди зі знаком плюс, тобто тільки позитивне.
Корінь називаєтьсяарифметичним, якщо він витягується з позитивного числа і сам є позитивним числом.
Арифметичний корінь заданого ступеня із заданого числа існує лише один.
Операцію розрахунків прийнято називати «вилученням кореня n-го ступеня» з числа α. По суті, ми виконуємо операцію зворотну до зведення в ступінь, а саме - знаходження основи ступеня b за відомим показником n і результатом зведення в ступінь
Коріння другого і третього ступеня використовується на практиці частіше за інших і тому їм було дано спеціальні назви.
Квадратний корінь: У цьому випадку показник 2 ступеня прийнято не писати, а термін «корінь» без вказівки ступеня найчастіше означає квадратний корінь. Геометрично тлумачення є довжиною сторони квадрата, площа якого дорівнює α.
Кубічний корінь: Геометрично тлумаченням, виступає довжина ребра куба, обсяг якого дорівнює α.
Властивості арифметичного коріння.
1) При обчисленніарифметичного кореня з твору, необхідно витягти його з кожного співмножника окремо
2) Для розрахункукореня з дробу, необхідно витягти його з чисельника та знаменника даного дробу
3) При розрахункукореня зі ступеня, необхідно розділити показник ступеня на показник кореня
Перші розрахунки, пов'язані з вилученням квадратного кореня, виявлено у роботах математиків стародавнього Вавилону та Китаю, Індії, Греції (про досягнення стародавнього Єгипту щодо джерел інформації немає).
Математики стародавнього Вавилона (II тисячоліття е.) застосовували для добування квадратного кореня особливий чисельний метод. Початкове наближення для квадратного кореня знаходили виходячи з найближчого до кореня (меншу сторону) натурального числа n. Представивши підкорене вираз у вигляді: α=n 2 +r, отримуємо: x0=n+r/2n, потім застосовувався ітеративний процес уточнення:
Ітерації у цьому методі дуже швидко сходяться. Для ,
Наприклад, α=5; n=2;r=1; x0=9/4=2,25 і ми отримуємо послідовність наближень:
У заключному значенні вірні всі цифри, крім останньої.
Греки сформулювали проблему подвоєння куба, яка зводилася до побудови кубічного кореня за допомогою циркуля та лінійки. Правила обчислення будь-якого ступеня з цілого числа вивчені математиками Індії та арабських держав. Далі вони набули широкого розвитку в середньовічній Європі.
Сьогодні для зручності розрахунків квадратного і кубічного коріння широко використовуються калькулятори.