Асимптотика розв’язків диференціальних рівнянь
з дисципліни "Ефективні алгоритми дослідження моделей природознавства"
на тему: «Асимптотичні розв'язки диференціальних рівнянь за мінімальним параметром. Регулярні обурення»
Застосування регулярного обурення
1. Асимптотична поведінка розв'язків диференціальних рівнянь із малим параметром
1.1 Асимптотична поведінка рішень системи
2. Регулярні обурення
2.1 Асимптотичні методи
2.2 Регулярні обурення розв'язків задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь
2.3 Існування розв'язання обуреного завдання
Неможливо уявити сучасну науку без широкого застосування математичного моделювання. Сутність цієї методології полягає у заміні вихідного об'єкта його "образом" - математичною моделлю - і подальшому вивченні моделі за допомогою обчислювально-логічних алгоритмів, що реалізуються на комп'ютерах. Цей «третій метод» пізнання, конструювання, проектування поєднує у собі багато переваг як теорії, і експерименту. Робота не з самим об'єктом (явленням, процесом), а з його моделлю дає можливість безболісно, відносно швидко і без істотних витрат дослідити його властивості та поведінку у будь-яких мислимих ситуаціях (переваги теорії). У той же час обчислювальні (комп'ютерні, симуляційні, імітаційні) експерименти з моделями об'єктів дозволяють, спираючись на потужність сучасних обчислювальних методів та технічних інструментів інформатики, докладно та глибоко вивчати об'єкти у достатній повноті, недоступній суто теоретичним підходам (переваги експерименту).
Зараз математичне моделювання вступає у третій принципово важливий етап свого розвитку, «вбудовуючись» уструктури так званогоінформаційного суспільства.
Застосування регулярного обурення
Вихідні пучки лазерів часто мають квазірегулярну модуляцію хвильового фронту (ВФ). У газових лазерах з активним середовищем, що рухається, таку модуляцію можуть викликати неоднорідності, що виникають під дією періодичних соплових грат [1], під впливом страт і доменів в газовому розряді [2], в результаті накладання ударних хвиль [3,4], а також під дією низки інших фізичних чинників. Модуляція ВФ вихідних лазерних пучків у літературі найчастіше сприймається як чинник, що впливає, передусім на розбіжність випромінювання.
Набагато менше уваги приділяється аналізу метаморфоз структури ВФ, умов появи та взаємозв'язку каустичних та фазових дислокаційних утворень у лазерних пучках. Такі освіти реєструються у випромінюванні лазерів з різними оптичними резонаторами [5,6]. У цій роботі розглядаються якісні зміни амплітудно-фазової структури лазерних пучків, що спочатку володіють плавною регулярною модуляцією ВФ.
Загальне уявлення про характер аналізованих процесів можна отримати на прикладі відомого завдання [7] про поширення безмежної хвилі, фаза якої в початковій площині змінюється за гармонійним законом. Амплітуда такої хвилі має такий вигляд:
де m – параметр, що характеризує глибину фазової модуляції; х – поперечна координата; а – період модуляції. На відстані z від початкової площині поле можна подати у вигляді суперпозиції плоских хвиль [7]:
Використовуючи для розрахунку характеристик поля розкладання по плоских хвилях (2), а також променевий метод з роботи [10], можна встановити основні особливості трансформації початкового розподілу амплітуди і фази.Розрахунки показують, що навіть при малій глибині модуляції фази та рівномірному розподілі інтенсивності в початковій площині дифракційні ефекти призводять до значного просторового перерозподілу інтенсивності.
Перерозподіл найбільш помітно поблизу площин
На рис.1 наведено розподіли амплітуди А та фази Ф на відстанях
Їх розташування стосовно утворюючим каустик відповідає розрахованої на основі інтеграла Персі фазової структури поля, наведеної в роботі [11].
Мал. 1. Розподіл амплітуди А (1,2) та фази Ф (3,4) по поперечній координаті х для безмежної хвилі на відстані
Поздовжня структура розподілу інтенсивності випромінювання показано на рис. 2 для т = 1.2. З нього видно, що фазова модуляція викликає формування каналів, витягнутих вздовж напряму поширення, в яких інтенсивність випромінювання значно перевищує середню. Осі цих областей збігаються з осями симетрії дзьобоподібних каустик.
Якщо фазова модуляція в початковій площині здійснюється не по одній а по двох поперечних координатах, з'являється можливість формування гвинтових дислокацій (ВД) хвильового фронту. ВД відрізняються від КД принципово інший топологічної структурою (при обході навколо ВД фаза змінюється на 2п). На рис. 3,а наведена структура еквіфазних ліній ПФ у початковій площині коли розподіл поля задається формулою
Структура еквіфазних ліній у початковій площині на рис.3,а побудована за допомогою формули (3) для С = 0.2 та m = 2. Хід ліній свідчить про наявність плавних регулярних збурень хвильового фронту. На рис.3,6 зображено структуру еквіфазних ліній на відстанях
ВД розташовуються у точках перетину еквіфазних ліній. Вони утворюють своєрідні квадрополікожен із яких складається з чотирьох ВД. Дві мають позитивний знак (є «правими»), дві - негативний знак (є «лівими»). Квадруполі оточують осі каустик.
На відміну від КД кожна з яких строго формується у певній площині z = const, ВД характеризуються певною поздовжньою довжиною. Як і КД дислокації гвинтового типу виникають лише за перевищення глибиною початкової модуляції хвильового фронту деякого критичного значення. Якщо позначити через
Всі перераховані вище ефекти були проаналізовані стосовно просторово-обмеженого пучка з гаусовим профілем розподілу інтенсивності. В основу розрахунку була покладена формула (2), в якій суперпозиція плоских хвиль була замінена системою raусових мод вільного простору, що розповсюджуються під кутом один до одного [12]. Горловини мод розташовувалися у початковій площині
Розрахунки показали, що перехід до більш точної моделі гауссового пучка з періодичною модуляцією ВФ не вносить суттєвих якісних змін у дані про перетворення амплітудно-фазового розподілу, принаймні на відстанях, порівнянних з характерною довжиною.