Basharov12_Nano
НАНОСИСТЕМИ: ФІЗИКА, ХІМІЯ, МАТЕМАТИКА, 2012, 3 (6), С. 47–63
УДК 517.938, 519.21, 536.12
ПРО СТОХАСТИЧНЕ ОБГРУНТУВАННЯ ОПИСУ КИНЕТИКИ НАНОЧАСТОК ДИФЕРЕНЦІЙНИМИ РІВНЯННЯМИ З ДРОБНИМИ ВИРОБНИЧИМИ
А. М. Башаров 1, 2
1 Національний дослідницький центр «Курчатівський інститут», Москва, Україна
2 Московський фізико-технічний інститут (державний університет), м. Довгопрудний, Україна
Дано огляд основних уявлень про дробовий аналіз та типові загальні випадки кінетики зосереджених відкритих систем, що призводять до використання рівнянь з дробовими похідними.
Ключові слова: відкриті системи, процеси перенесення та релаксації, субординовані процеси та процеси Леві, стохастичні диференціальні рівняння.
Одним з основних методів пізнання світу є дослідження відгуку системи на малі (і не малі) обурення, зокрема вивчення процесів повернення системи до рівноважного або до квазірівного стану після її виведення з цього чи іншого такого стану. Такі процеси відомі як релаксаційні та багато завдань спектроскопії, нелінійної та квантової оптики торкаються питань релаксації різного роду збуджень в атомних, фотонних та фононних та інших системах.
До цих пір основною і найпоширенішою моделлю релаксації є експоненційна релаксація, що описується найпростішим диференціальним рівнянням (релаксаційним рівнянням) виду
p (t) = p (0) e −γt.
Експоненційне згасання в часі (2) будь-якого параметра системи типово для багатьох завдань, в деяких з них (поляризація діелектриків тощо) таке згасання відоме як описується моделлю Дебая. В оптиці так згасає недіагональна матриця щільності одиночного збудженогоатома. Однак простий закон (1) - (2) не підходить для багатьох реальних випадків з різних галузей фізичних та інших наук, тому дослідження неекспоненційної релаксації почалися давно. Ще ХІХ столітті 1847 р. Кольрауш встановив [1], що тимчасове згасання електричного заряду p ( t ) у лейденській банку підпорядковується закону
p ( t ) exp [ − ( t/τ ) β ]
із параметром β = 0,426.
Нині кількість публікацій з неекспоненційної релаксації дуже велике і охоплює дуже далекі друг від друга розділи фізики, і навіть інших наук. Причому такі процеси характеризують як протяжні середовища, наприклад, в'язкопружні
[2] та інші матеріали [3,4], так і локалізовані об'єкти, такі як примісні ексітони [5], квантові точки [6] та ін.
Форма неекспоненційної релаксації може бути і відмінною від (3), наприклад, статечної. У дисперсійному перенесенні напівпровідниках для перехідних струмів характерний неекспоненційний закон типу [7]
p ( t ) t − 1 −α , t > t tr , 0 0 .
Функція Міттаг-Леффлер (8) є узагальненням ряду для експоненти e z шляхом заміни n ! = Γ(n+1) на гамма-функцію Γ(αn+1). Під дією оператора дробового диференціювання функція Міттаг-Леффлера (як і експонента при звичайному диференціювання)
Про стохастичне обґрунтування опису кінетики наночастинок
і має асимптотику
З виразів (7) і (10) видно, що перехід до опису релаксації за допомогою рівнянь з подрібненими дробовими дозволяє отримувати неекспоненціальне згасання, причому експоненційне згасання проявляється як окремий випадок такого узагальненого підходу. Проте чи залишається питання, які підстави існують для такого переходу?
Релаксаційні процеси, як правило, супроводжують динамікусистем двох різних типів До одного з них належать нелінійні динамічні гамільтонові системи в умовах прояву детермінованої хаотичної поведінки [15]. До іншого типу належать відкриті системи [16-18].
У разі відкритих систем, що взаємодіють із широкосмуговим оточенням (багато ступенів свободи) природною мовою опису їх динаміки є апарат випадкових процесів та стохастичних диференціальних рівнянь. У цій статті буде показано, як у разі впливу на відкриту систему класичних випадкових процесів Леві загального виду виникає опис системи рівняння з дробовими похідними. Однак насамперед буде дано коротке введення в техніку дробового інтегрування та диференціювання, а також елементи теорії класичних процесів Леві та відповідних стохастичних диференціальних рівнянь.
2. Дробове інтегрування та диференціювання
Дробне інтегрування і диференціювання має давню історію, починаючи ще з Лейбніца (див. [19]), проте донедавна розвивалося як суто математична теорія без особливих додатків [20], можливо, крім завдань пластичності і дифузії [21,22] .
Одна з можливостей введення дробового інтегрування полягає в узагальненні розв'язання задачі Коші для диференціального рівняння n-го порядку виду y(n)(x)=f(x) із початковими умовами y(a)=y(a)=. = y (n−1) (a) = 0 . Рішення можна записати у вигляді повторних інтегралів