БЧА НІВЦ МДУ
Вирішуються такі завдання:
- Крайова задача для лінійної системи M рівнянь першого порядку
деBіC- прямокутні матриці порядків (M - k) × M і k × M відповідно, аbтаc- вектори довжиною M - k та k;A- квадратна матриця розміру M × M,f- вектор довжиною M;
- двоточкове крайове завдання для лінійного рівняння другого порядку з безперервними коефіцієнтами
- двокрапкове крайове завдання для нелінійного рівняння другого порядку
- двоточкове лінійне крайове завдання для самосполученого рівняння другого порядку
з розривними коефіцієнтамиk(x), g(x), r(x) ∈ Q 2 [ xN, xK ], що мають кусково - безперервні похідні до другого порядку включно, з граничними умовами
та додатковою умовою безперервності рішенняyі потокуk Y 'у точках розриву коефіцієнтів.
Для вирішення лінійної задачі для рівняння другого порядку (13) є підпрограми, що реалізують ітераційний метод кінцевих різниць, запропонований Фоксом [7], та метод прогонки А.А.Абрамова із заміною змінної, що зводиться до розв'язання задачі Коші [12]. Ці методи є стійкими у разі, коли стійка вихідна крайова завдання.
У разі, коли вихідне рівняння нелінійне (15), використовується метод лінеаризації [ 7 ], а лінійні рівняння, що виходять, вирішуються методом Фокса, причому лінеаризації нелінійного рівняння відбуваються послідовно. Оскільки висновок про збіжність ітераційного процесу робиться поблизу послідовних ітерацій, різниці між якими не завжди можна звести до нуля через помилки округлення, то вводиться константа, яка обмежує число цих ітерацій. Ця константа задається користувачем для кожного завдання при зверненнідо підпрограми.
Для вирішення лінійної двоточкової крайової задачі системи рівнянь першого порядку (11), (12) використовується метод ортогональної прогонки С.К.Годунова [1], що зводиться до вирішення завдань Коші. Для забезпечення стійкості прогонки періодично застосовується ортогоналізація векторів, що є рішеннями завдань Коші для вихідної системи та відповідної однорідної системи. Вузли, в яких потрібно проводити ортогоналізацію цих векторів, задаються користувачем для кожного завдання при зверненні до підпрограми. При цьому ортогоналізація здійснюється розкладанням матриці, складеної з компонентів зазначених векторів, у добуток ортогональної та трикутної матриць стійким методом відбитків.
Лінійну крайову задачу для рівняння 2-го порядку можна вирішувати методом ортогональної прогонки С.К.Годунова, попередньо перетворивши рівняння другого порядку до системи рівнянь першого порядку.
Для вирішення самопов'язаного рівняння другого порядку з розривними коефіцієнтами (16), (17), яким описуються, наприклад, стаціонарні процеси теплопровідності та дифузії, використовується однорідна консервативна різницева схема другого порядку точності [13]. При використанні цієї схеми точки розривів коефіцієнтів рівняння повинні збігатися з вузлами сітки, де знаходиться рішення.
Як і для завдань Коші, всі підпрограми крайових завдань мають версії, що виконують проміжні обчислення з подвоєним числом цифр, коли мантиса числа займає не одне, а два машинні слова. Ці версії рекомендується використовувати у тому випадку, коли за рахунку за основними версіями обчислювальна похибка перевищує допустиму граничну похибку наближеного рішення.