Будь-якіізотропні підпростори однакової розмірності в L перекладаються одне в інше відповідним
Прикладна математика основні математичні формули
Лінійне відображення ставить у відповідність вектору лінійну форму наL1. Воно є ізоморфізмом, т. до., яке ядро міститься в ядрі форми [ , ], яка, за припущенням, невироджена. Це завершує підтвердження.
4. Следствие.Будь-які пари взаємно додаткових ізотропних подпространств вLоднаково розташовані: якщо , то є ізометрія така, що .
Доказ.Виберемо базис e1, .er> вL1 і двоїстий до нього базис er+1, .e2r> вL2 щодо описаного вище ототожнення . Очевидно, e1, .e2r> є симплектичний базис вL. Аналогічно побудуємо симплектичний базис з розкладання. Лінійне відображення ,i= 1, . 2r, очевидно, є необхідною ізометрією.
На підставі цього слідства та пропозицій пп. 2, 3 слід, що будь-які ізотропні підпростори однакової розмірності вLпереводяться одне в інше підходящою ізометрією.
5. Симплектична група.Безліч всіх ізометрій симплектичного простору утворює групу. Безліч матриць, що представляють цю групу в симплектичному базисі e1, .e2r>, називаєтьсясимплектичною групоюі позначається, якщо dimL= 2r. Умова дорівнює тому, що матриця Грама базису e1, .e2r>Aзбігається з , тобто щоA t I2rA=I2r, так що ; нижче доведемо, що detA= 1 (див. п. 11). Оскільки цю умову можна записати також у виглядіA= -I2r(A t) -1I2r. Звідси випливає
Лінійна алгебра та геометріяматематичні формули, он-лайн довідник