Чисельне інтегрування
Чисельне інтегрування- це спосіб обчислення певного інтеграла за формулою.
Зміст
[ред.] Опис
Суть чисельного інтегрування полягає у розрахунку значення певного інтеграла за зваженими значеннями підінтегральної функції, без використання первісної функції.
Сила чисельного інтегрування полягає у можливості оцінки значення певного інтеграла шляхом простих обчислень.
[ред.] Формула
За чисельного інтегрування використовується загальна формула певного інтеграла. , де
– квадратурна формула,
n– число відрізків на[a,b],
f(xi)– значення підінтегральної функції у точкахxi,
qi- вагові коефіцієнти,
[ред.] Порядок точності формул
- m=1для формули правих прямокутників
- m=1для формули лівих прямокутників
- m=2для формули прямокутників
- m=2для формули трапецій
- m=4для формули Сімпсона
- m=4для формули трьох восьмих
[ред.] Правило Рунге
Для оцінки точності розрахунку інтегралаIза допомогою квадратурних формул (наприклад, необхідно розрахувати значення інтеграла за допомогою квадратурної формули дляI2n=Ih/2) на практиці можна застосовувати правило Рунге:
або , де
In=Ih– значення квадратурної формули при кроціh=(b-a)/n,
I2n=Ih/2– значення квадратурної формули при кроціh/2=(b-a)/(2n),
m– порядок точності квадратурної формули.
Умова застосування правила Рунґе суворо задається для парного n наступною нерівністю:
або , де
In=Ih– значення квадратурної формули при кроціh=(b-a)/n,
I2n=Ih/2– значення квадратурної формули при кроціh/2=(b-a)/(2n),
In/2=I2h– значення квадратурної формули при кроці2h=(b-a)/(n/2),
m– порядок точності квадратурної формули.
[ред.] Формула Річардсона
Більш точним (принаймні на порядок вище, тобто з порядком точностіm+1) значенням інтегралаI(порівняно зі значеннямI2n=Ih/2) є значенняI*, обчислене або екстраполіроване за формулою Річардсона:
або , де
In=Ih– значення квадратурної формули при кроціh=(b-a)/n,
I2n=Ih/2– значення квадратурної формули при кроціh/2=(b-a)/(2n),
m– порядок точності квадратурної формули.