Чому математики не вміють рахувати», Мел
Нещодавно у видавництві “Самокат” вийшла книга “Дитячий університет. Дослідники пояснюють загадки світу» Улли Штойєрнагель та Ульріха Янссена. У ній дітям зовсім не нудно розповідають, звідки беруться блискавка та грім, чому хлопчики та дівчатка поводяться по-різному, навіщо люди розповідають історії та багато іншого. «Крейда» публікує фрагмент глави «Чому математики не вміють рахувати» про великого математика Карла Фрідріха Гауса.
Щоб зрозуміти, з яким задоволенням математики спілкуються з царством чисел, настав час нарешті познайомитися зі справжнім математиком. Карл Фрідріх Гаусс був не просто справжнім математиком, а одним із найзнаменитіших математиків у світі. Він жив із 1777 по 1855 рік у Геттінгені, де протягом 48 років викладав в університеті. З математикою у Гауса було добре з раннього дитинства. «Вважати я навчився раніше, ніж писати», — казав він. А його батько згадував, як син одного разу вказав на помилку в підрахунках. Адже малюкові на той час було лише три роки! Так що Гаус був справжнім вундеркіндом, але таким, якого в школі помічають лише на уроці математики. Його вчитель, гер Бюттнер, мав звичку давати своїм учням на уроці жахливо довгі арифметичні приклади. Це дозволяло йому, поки діти чіпляються над завданнями, спокійно спати чи колупати в носі.
Якось він задав своїм учням скласти сто чисел. +2+3+4+… і так далі до 100. Весь клас хоробро взявся рахувати. 1 + 2 буде 3, + 4 - сім, + п'ять - 12 ... Тільки один хлопчик не став вважати, як усі: маленький Карл Фрідріх, подумавши пару секунд, записав на своїй грифельній дошці одне-єдине число і ляснув її на стіл вчителю з словами: «Ось і все!»
Вчитель Бюттнер спочатку протер очі, а потім потер руки. Що таке? З чого цей малявканаважився зухвало? Він суворо глянув на маленького Карла Фрідріха, але той досить усміхався у відповідь. Коли закінчиться урок, вирішив гер Бюттнер, я навчу маленького зухвальця, як поводитися, парочкою ударів розіг. Але коли наприкінці уроку учні здали свої роботи, все вийшло зовсім не так, як представляв учитель. Він подивився на відповіді хлопців, і на нього напав сильний напад кашлю. Поки інші мучилися з обчисленнями і лише деякі отримали правильну відповідь, Гаус на своїй дошці написав одне-єдине число. Причому правильне. Що це диво?
Зовсім ні. Карл Фрідріх Гаус просто наочно показав своєму вчителю різницю між арифметикою та математикою. Поки вчитель та інші учні болісно складали всі числа від 1 до 100 одне одним, він підійшов до завдання математично. Він зазначив, що початкові числа утворюють дуже зручні пари з кінцевими. Тобто 1 та 100, 2 та 99, 3 та 98. Якщо так продовжувати далі, то вийде 50 пар, що дають однакову суму. 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 тощо. Тепер залишилося тільки помножити в думці 101 на 50 і записати правильну відповідь: 5050.
Звичайно, маленький Карл Фрідріх Гаус і рахувати чудово вмів. Кожен математик вміє виконувати основні арифметичні події. Але сенс математики не в обчисленнях.
Математика — це здебільшого пошук рішень та опис принципів, що стоять за тими чи іншими завданнями
Так як ці принципи слід описувати дуже точно, математики із задоволенням користуються формулами. Просто так зручніше. Якби ми захотіли описати ідею Гауса звичайними словами, нам знадобилося б багато місця. Давайте спробуєм. «Для того щоб знайти суму ряду доданків, що починається з одиниці і закінчується сотнею, кожен наступний член якогозбільшується на один, необхідно скласти попарно ці числа - перше з останнім, друге з передостаннім і так далі - і помножити отриману суму на половину кількості доданків у ряді...» І так далі тощо. Хто це зрозуміє? Хто зможе розібратися?
А подивіться, як коротко і зрозуміло виглядатиме така рівність, якщо записати її цифрами та математичними символами: 1 + 2 + 3 +… + 100 = (1 + 100) × 100/2, . А на випадок, якщо вчителю спаде на думку змусити складати числа не до 100, а до 200 або до 300, можна переробити цю рівність так, щоб вона підходила для всіх подібних випадків. Для цього ми просто замінимо число 100 на букву n: 1+2+3+…+n=(1+n) × n/2. Літера n у цій рівності виступає в ролі заступника, її можна замінити на будь-яке натуральне число. Така хитрість із заступниками чисел – геніальний винахід, математики всього світу дуже часто користуються ним. Звичайно, як заступники не завжди використовують саме n. Це може бути і n, і x, і, y, і, і b — по обставинам. Але хоч би як вони називалися, функція в них завжди однакова: заміщати щось інше. Вони вказують на те, що рівняння справедливе не тільки для конкретного випадку, а для всіх подібних випадків.
Здається, потихеньку стає зрозуміло, чому математикам ця математика так подобається. З її допомогою можна заощадити багато часу. Можна здивувати вчителя. А як приємно знайти рішення задачі! Цікаво, але ми якраз зараз вирішили одне завдання - те, що було позначено в заголовку цього розділу: «Чому математики не вміють рахувати?» Відповідь така: справжні математики взагалі не вважають, їм ліньки це робити. З більшим задоволенням вони вирішують завдання. А арифметику залишають калькуляторам.
Чесно кажучи,Слід визнати, що не всі математики вирішують завдання так легко, як маленький Карл Фрідріх Гаус. Іноді доводиться справді багато трудитися. Адже завдання бувають заплутані та складні. Головне під час вирішення заплутаних завдань — спочатку встановити, у чому, власне, завдання полягає; так і кажуть: "Визначити завдання".
Визначення завдання - передумова для того, щоб математики всього світу могли зайнятися пошуком її розв'язання.
У когось з'являється ідея, як підступитися до рішення, формулює теорему. Вона визначає розв'язання задачі, але цього недостатньо. Тому що теорему треба довести. Тільки за наявності доказу кожна розумно мисляча людина приймає висунуту теорему.
Інакше висловлюючись, математика схожа гру. Тільки коли всі гравці грають за одними всіма відомими правилами, гра приносить задоволення. І справді, математики поводяться приблизно як шахісти. Хороші шахісти ретельно читають книги з шахів і аналізують партії інших гравців. А щоб перемогти інших хороших шахістів, вони мають бути готовими до справді важких завдань. Вони повинні пробувати нові, незвичайні, фантастичні ходи, до яких раніше ніхто не здогадувався.
Німецькі вчені 15 років тому відкрили справжній Дитячий університет в одному із найстаріших університетів Німеччини у місті Тюбінгені. Лекції вчених записали журналісти-популяризатори науки Улла Штойєрнагель та Ульріх Янссен. Приблизно так і з'явилася ця книга, видана за підтримки Ґете-Інституту.