ЦИФРОВА ОБРОБКА КОРОТКИХ СИГНАЛІВ
Однією з найважливіших завдань цифрової обробки шумів є виявлення інформативного сигналу в потоці даних, спотворених шумами і перешкодами, і визначення його параметрів. Для цього застосовуються різні методи, такі як тимчасова фільтрація (накопичення), оптимальна частотна фільтрація, пряме та зворотне перетворення Фур'є, кореляційна обробка. Кожна з цих операцій дозволяє виконувати перетворення вихідного сигналу, наприклад, перехід сигналу з тимчасової області частотну або навпаки, причому при цьому проводиться зменшення рівня шумів в обробленому сигналі. У задачах виявлення та визначення параметрів зашумлених сигналів посилення ефекту придушення шумів та збільшення точності визначення параметрів сигналу можна досягти, використовуючи кілька методів цифрової обробки в комплексі. Прикладом може бути завдання обробки відлуння-сигналу спектрометра ЯМР.
Результатом БПФ дискретизованого луна-сигналу спектрометра ЯМР певної частоти є кількість періодів сигналу в часовому вікні. Якщо частота відліків або інтервал дискретності за часом при вимірі сигналу відомий, то за кількістю періодів у часовому вікні можна встановити частоту вимірюваного сигналу. Точність визначення частоти в спектрі вхідного сигналу цілком визначена і залежить кількості періодівpсигналу. Якщо кількість періодів ціла, то частота за допомогою БПФ знаходиться точно (навіть за наявності значної шуму сигналу). Якщо кількість періодівpне є цілим, то з'являється похибка визначення частоти. Максимальне значення похибки дорівнює1/2p[12]. У деяких, практично важливих випадках, наприклад, при обробці лунасигналів (рис. 11.1) імпульсних спектрометрів ЯМР, кількість періодів аналізованого сигналу у часовому вікні принципово обмежена величиною близько 10 [13]. І тут похибка визначення частоти з допомогою БПФ сягає 1/10, т. е. 10%.
Мал. 11.1. Вихідний (А) і накопичений (Б) ехо-сигнал у бораті заліза FeBO3.
Безпосереднє використання БПФ не дозволяє отримати точне значення кількості періодів у часовому вікні та частоти вимірюваного сигналу в тому випадку, коли кількість періодів не є цілим, коли аналізований сигнал займає лише частину тимчасової області, модульований по амплітуді та зашумлений. У практично важливих випадках частотного аналізу сигналів спектрометрів ЯМР форма та початкова фаза ехо-сигналів відомі, невідома і вимагає визначення лише частота. Це дає можливість створити еталонні сигнали, що відповідають очікуваному ехо-сигналу за формою та початковою фазою, та зробити їх кореляційне порівняння. Коефіцієнт кореляції луна-сигналу з еталонним сигналом дорівнюватиме одиниці, якщо частоти луна-сигналу і еталонного сигналу рівні і луна-сигнал не зашумлений. Тому за відсутності шумів знайти частоту ехо-сигналу можна виробляючи кореляційне порівняння з еталонними сигналами, частоту еталонних сигналів підбирати до виконання умови, коли коефіцієнт кореляції дорівнюватиме одиниці. Однак коефіцієнт кореляції зменшується як при різниці частот відлуння та еталонного сигналів, так і при збігу частот, але через наявність шуму. Тому в такий спосіб визначити частоту зашумленого сигналу неможливо.
Підвищення точності визначення частоти сигналу може бути досягнуто за рахунок поєднання позитивних якостей кореляційного підходу та БПФ.
Ідея способу, описаного в [14 - 16],полягає в тому, що обчислюються коефіцієнти кореляції вихідного сигналу з декількома еталонними, що відрізняються за частотою в деякій околиці від наближеного значення частоти, потім за допомогою сплайн-апроксимації будується функція, що виражає залежність коефіцієнтів кореляції вихідного сигналу з еталонними від частоти цієї функції, яка визначає уточнене значення частоти вихідного сигналу. Функція, побудована таким чином, має вигляд параболи з явно вираженим максимумом (див. рис. 11.2) як у випадку незашумленого так і зашумленого сигналу, що дозволяє визначити частоту ехо-сигналу більше
Мал. 11.2. Залежність коефіцієнта кореляції від частоти за відсутності шуму (А) і щодо сигнал/шум 1/3 (Б). Точне значення частоти дорівнює 1010. Апроксимуючі криві побудовані за допомогою функції сплайн аппроксимації spaps в MATLAB.
точно, чим це дозволяє зробити БПФ. За наявності шуму форма функції зберігається, зменшується абсолютне значення максимуму. Точніше визначення становища максимуму, тобто. частоти сигналу може бути знайдено завдякипередискретизації. В результаті сплайн-апроксимації ми отримуємо функціональну залежність. Це дає можливість створити числовий масив на аналізованій ділянці частотного спектру з меншим кроком одиниці, наприклад, з кроком 0.1, тобто. провестипередискретизацію. У цьому числовому масиві можна знайти положення максимуму функції, отриманої за допомогою сплайн-апроксимації вКразів точніше, якщо крок дискретизації був зменшений уКразів.
Припустимо, у вихідному масиві положення максимуму було на частоті 1010, а після сплайн-апроксимації функції кроскореляції та передискретизації положення максимуму стало 1010.3.
Розмір околиці поблизу наближеного частоти, знайденого, наприклад, за допомогою БПФ, повинен бути обраний таким, щоб істинне значення частоти знаходилося в межах цієї околиці. Якщо, наприклад, наближене значення частоти отримуємо з похибкою до 10%, то розмір околиці має становити щонайменше 10% від наближеного значення частоти.
Кількість еталонних сигналів має бути збільшено зі збільшенням можливої помилки визначення наближеного значення частоти з допомогою БПФ, т.к. при збільшенні помилки функція коефіцієнтів кроскореляції з одноекстремальної перетворюватиметься на багатоекстремальну (рис.11.3).
Мал. 11.3. Функція коефіцієнтів кореляції, отримана за умов значного відхилення початкового наближення від справжнього значення. Справжнє значення кількості періодів – 4.5, амплітуда сигналу –1.0, СКО нормально розподіленого шуму – 0.3, початкове наближення кількості періодів – 3. Кількість еталонних сигналів (і точок апроксимації) – 21.
Точність визначення частоти сигналу буде тим вищою, чим ближче початкове наближення до істинної частоти. Тому процес уточнення значення частоти має бути організований ітераційно, кожному етапі ітерації як початкового наближення використовується уточнене значення частоти, отримане попередньому етапі. Розмір околиці кожному етапі ітерації має скорочуватися. Як перший наближення береться частота, визначена за допомогою БПФ.
Кількість ітерацій для розрахунку частоти із заданою точністю за допомогою описаного способу залежить від того, наскільки близько до шуканої частоти буде початкове наближення.
Точність визначення кількості періодів та частоти сигналу описаним вище способом може бутиоцінена аналітично. Два гармонійні сигнали: вихідний і еталонний, що мають частотиf1іf2або кількість періодівn1іn2, що відрізняються за частотою, можна записати у вигляді:
деT- інтервал спостереження,f-частота відліків,N- кількість відліків,Fs- частота дискретизації.
Коефіцієнт коваріації сигналів x та y обчислюється за формулою:
Саме ця функція має вигляд параболи 6 порядку, з вершиною, спрямованою вгору, якщо виконано умовуDn 0)&(i kt/2)&(i 0)&(i kt/2)&(i