Цілі числа алгебри
Гаусові цілі числа — чудовий приклад алгебраїчних чисел, які «поводяться» як цілі, але все ж таки незрозуміло, яким має бути загальне поняття «цілого». Після періоду досліджень Діріхле,
Куммера, Ейзенштейна, Ерміта та Кронекера у 1840-х та 1850-х рр. Дедекіндом (1871) запропоновано таке визначення: ціле число алгебри — це корінь рівняння виду
Таким чином, визначення алгебраїчного цілого числа випливає з визначення алгебраїчного числа (розділ 21.1) через обмеження багаточленів тими багаточленами, які мають старший коефіцієнт 1, або нормованими багаточленами, як їх часто називають.
Одна з причин, яка навела на це визначення, - результат, доведений Ейзенштейном (1850): числа, що задовольняють рівнянням тагам, - замкнуті при Звідси слід (оскільки алгебраїчні числа успадковують властивості з С), що алгебраїчні цілі числа утворюють комутативне кільце як визначено у розділі 20.3.
Однак це неможливо, тому що ділить праву частину, але не ліву.
На практиці важко працювати в кільці всіх алгебраїчних цілих, і ми вважаємо за краще працювати з меншими кільцями, такими як або Вправи в попередньому розділі показують, що - ідеальне оточення для доказу Ейлера, що має тільки одне позитивне рішення в
Перевага кілець, таких як або полягає в тому, що вони мають поняття норми, що дозволяє нам визначити поняття простого числа та показати, що кожен елемент кільця має розкладання на прості множники. Однак однозначність розкладання на
прості множники не гарантована, і до певної міри нам пощастило, що ми знайшли її в і
Більш типове кільце алгебраїчних цілих чисел має вигляд
У цьому кільці і, отже, норма дорівнює
Як і раніше, ми визначаємо, що просте число - це число норми, яка не є добутком чисел меншої норми, і звідси випливає, як у що кожен член розкладає на прості множники
Правда також, що, якщо ділить а в то ділить Отже, просте число якщо неподільно на будь-яку меншу норму, тобто, на будь-яке менше ціле число виду Приклади простих чисел в наступні:
Отже, звідси випливає, що 6 має два різні розкладання на прості множники в
У 1840-х роках. Куммер наголосив на прикладах відсутності однозначного розкладання на прості множники, і він усвідомив, що це серйозна проблема. Він писав:
Дуже сумно, що ця гідність дійсних чисел [тобто звичайних цілих чисел] розкладатися на прості множники, завжди однакові для даного числа, не відноситься також до комплексних чисел [тобто алгебраїчним цілим числам]; якби це було так, можна було б завершити всю теорію, яка, як і раніше, просувається вперед із труднощами тагами. З цієї причини комплексні числа, які ми розглядаємо, видаються недосконалими, і цілком можна поставити питання, чи не слід.
пошукати інший тип, який зберіг би аналогію з дійсними числами щодо такого фундаментального властивості.
[Переклад Вейля (1975) із Куммера (1844)]
Куммер знайшов "інший тип числа", який зберігав властивість однозначного розкладання на прості множники, і він назвав їх "ідеальними числами". Сьогодні вони відомі під назвою «ідеали».