Дедуктивна теорія – це
Дедуктивна теоріявважається заданою, якщо:
- Заданий алфавіт (множина) та правила утворення виразів (слів) у цьому алфавіті.
- Задано правила утворення формул (правильно побудованих, коректних виразів).
- З множини формул деяким способом виділено підмножинаTтеорем (доведених формул).
Різновиди дедуктивних теорій
Залежно від способу побудови безлічі теорем:
Завдання аксіом та правил виведення
У безлічі формул виділяється підмножина аксіом, і задається кінцеве число правил виведення - таких правил, за допомогою яких (і лише за їх допомогою) з аксіом і раніше виведених теорем можна утворити нові теореми. Усі аксіоми також входять до числа теорем. Іноді (наприклад, в аксіоматиці Пеано) теорія містить нескінченну кількість аксіом, що задаються за допомогою однієї або кількох схем аксіом. Аксіоми іноді називають «прихованими визначеннями». Таким способом визначається формальна теорія (формальна аксіоматична теорія,формальне (логічне) обчислення).
Завдання лише аксіом
Задаються лише аксіоми, правила виведення вважаються загальновідомими.
За такого завдання теорем говорять, що задананапівформальна аксіоматична теорія.
Завдання лише правил виведення
Аксіом немає (множина аксіом порожня), задаються лише правила виведення.
По суті, задана таким чином теорія - окремий випадок формальної, але має власну назву:теорія природного висновку.
Властивості дедуктивних теорій
Суперечливість
Теорія, в якій безліч теорем покриває безліч формул (усі формули є теоремами, «істинними висловлюваннями»), називається суперечливою. ІнакшеУ разі теорія називаєтьсянесуперечливою. З'ясування суперечливості теорії — одне з найважливіших і найскладніших завдань формальної логіки. Після з'ясування суперечливості теорія, зазвичай, немає подальшого ні теоретичного, ні практичного застосування.
Теорія називаєтьсяповною, якщо в ній для будь-якої формулиFвиводиться або самаF, або її заперечення. В іншому випадку, теорія містить недоказні твердження (твердження, які не можна ні довести, ні спростувати засобами самої теорії), і називаєтьсянеповною.
Незалежність аксіом
Окрема аксіома теорії вважається незалежною, якщо цю аксіому не можна вивести з інших аксіом. Залежна аксіома насправді надмірна, і її видалення із системи аксіом ніяк не позначиться на теорії. Вся система аксіом теорії називається незалежною, якщо кожна аксіома в ній незалежна.
Дозволеність
Теорія називаєтьсярозв'язною, якщо в ній поняття теоремиефективно, тобто існує ефективний процес (алгоритм), що дозволяє для будь-якої формули за кінцеве число кроків визначити, є вона теоремою чи ні.
- Обчислення висловлювань (логіка висловлювань, теорія L)
- Теорія першого порядку (теорія K), і окремий випадок - логіка першого порядку (обчислення предикатів, теорія K1)
- Формальна арифметика (теорія S)
Найважливіші висновки
- У 30-ті роки. XX століття Курт Гедель показав, що є цілий клас теорій першого порядку, які є неповними. Понад те, формула, яка стверджує несуперечність теорії, також невиведена засобами самої теорії (див. Теореми Геделя про неповноту). Цей висновок мав велике значення для математики, тому що формальна арифметика (а на ній базується теоріядійсних чисел, без якої не можна уявити сучасну математику) є саме такою теорією першого порядку, а отже, формальна арифметика і всі теорії, що містять її, у тому числі теорія дійсних чисел, є неповними.
- Проблема нерозв'язності логіки предикатів. Чорчем доведено, що немає алгоритму, який для будь-якої формули логіки предикатів встановлює, логічно загальнозначуща формула чи ні.
- Обчислення висловлювань є несуперечливою, повною, розв'язною теорією, причому всі три твердження доводяться в рамках самої логіки висловлювань.
Література
- Галієв Ш. І.Математична логіка та теорія алгоритмів. - Казань: Видавництво КДТУ ім. А. Н. Туполєва. 2002.
Примітки
Wikimedia Foundation. 2010 .
Дивитись що таке "Дедуктивна теорія" в інших словниках:
Теорія — (грец. θεωρία розгляд, дослідження) вчення, система ідей чи принципів. p align="justify"> Є сукупністю узагальнених положень, що утворюють науку або її розділ. Теорія постає як форма синтетичного знання, у межах якої окремі… Вікіпедія
Теорія — Теорія ♦ Théorie Сучасне значення слова «теорія» далеко відійшло від свого грецького «прабатька» (Theoria). Для нас теорія – не так споглядання, як праця, не стільки радість пізнання, скільки розумове зусилля. Так що ж таке ... Філософський словник Спонвіля
ДЕДУКТИВНА ЛОГІКА - ДЕДУКТИВНА ЛОГІКА розділ логіки, в якому вивчаються способи міркування, що гарантують істинність укладання при істинності посилок. Дедуктивна логіка іноді ототожнюється з формальною логікою. Поза межами дедуктивної логіки знаходяться т … Філософська енциклопедія
ТЕОРІЯПІЗНАННЯ - Гносеологія (від грец. gno sis знання, logos слово, поняття), Епістемолог і я (від грец. episteme знання) розділ філософії, що досліджує природу людського пізнання, його джерела та передумови, ставлення знання до предмета пізнання, умови … … Філософська енциклопедія
ТЕОРІЯ — (від грец. theoria розгляд, дослідження) сукупність висловлювань, замкнутих щодо логічного слідування. Таке гранично загальне та найбільш абстрактне визначення Т. дає логіка. З логічної т.зр. теорією можна назвати будь-яке ... Філософська енциклопедія
Дедуктивна система - це спосіб завдання множини шляхом вказівки вихідних елементів (аксіом обчислення) і правил виведення, кожне з яких описує, як будувати нові елементи з вихідних. Використовуються різні терміни для позначення поняття дедуктивної системи: ... Вікіпедія
розв'язна теорія — теорія, для якої існує ефективна процедура (алгоритм), що дозволяє про кожне твердження, сформульоване в термінах цієї теорії, вирішити, чи виводиться воно в теорії чи ні (див.: Дозвіл проблема). Р. т. є, напр., елементарна... Словник термінів логіки
гіпотетико-дедуктивна модель теорії — ГІПОТЕТИКО ДЕДУКТИВНА МОДЕЛЬ ТЕОРІЇ модель наукової теорії, що репрезентує її концептуальну структуру у вигляді системи взаємопов'язаних гіпотез і дедуктивних наслідків, що виводяться з них. Формування теорій як складноорганізованих … Енциклопедія епістемології та філософії науки
Формальна теорія - Формальна (аксіоматична) теорія, формальне обчислення це поняття, розроблене в рамках формальної логіки як основа для формалізації теорії доказу. Формальна теорія – різновид дедуктивної теорії, де безліч теорем.Вікіпедія
ГІПОТЕТИКО-ДЕДУКТИВНА МОДЕЛЬ — (HYPOTHETICO DEDUCTIVE MODEL) Загальноприйнятий погляд на побудову теорії та пояснення в природничих науках полягає в наступному. Вчені вигадують теорію, яка може пояснити деякі явища. Потім із неї логічним шляхом виводяться... Соціологічний словник