Матричні статечні ряди

Нехай є послідовність матриць Ak (k = 1, 2) розмірності (h × h). Під межею послідовності матриць Ak .розуміється матриця

Якщо межа послідовності матриць існує, то матричний ряд є схожим. Якщо межі немає, матричний ряд розходиться.

Користуючись поняттям межі матриці, можна ввести в розгляд матричний статечний ряд

. (4.22)

Ряд (4.22) сходиться, якщо всі власні числа матриці А розташовані в замкненому колі радіусу степеневого ряду:

, , (4.23)

причому власні числа, що лежать на колі, є простими.

Матричний статечний ряд розходиться, якщо хоча б одне власне число матриці А знаходиться поза коло збіжності скалярного степеневого ряду (4.23) або є власне число матриці А, що лежить на колі кола збіжності, для якого ряд (4.23) розходиться.

Таким чином, для того щоб матричний статечний ряд (4.22) сходився до деякої матриці, необхідно і достатньо, щоб скалярний ряд (4.23) сходився на спектрі матриці А. Так як степеневий ряд можна частинами диференціювати будь-яке число разів всередині кола збіжності, то ряд (4.22) сходить на спектрі будь-якої матриці, власні числа якої потрапляють всередину кола збіжності. Отже, розкладання функції в статечний ряд у колі зберігає силу, якщо скалярний елемент замінити будь-якою матрицею А, усі власні числа якої лежать усередині кола збіжності радіусу R.

Детальний аналіз збіжності матричних статечних рядів наводиться у повніших керівництвах. Вкажемо деякі найважливіші тотожності, які пов'язують функції від скалярного аргументу з матричними значеннями аргументу.

,

для будь-якої матриці А слідує

Так само для будь-якої матриці А

тоді.

Далі, для будь-якої матриці А

.

Експонентна функція може бути представлена ​​у вигляді:

,

.

Цей ряд сходиться рівномірно та абсолютно. Множення скалярних величин коомутативно, проте відповідний добуток експоненційних матриць не можна уявити у вигляді, якщо матриці А і В не комутують.

Тригонометричні функції мають вигляд:

,

,

,

,

.

---