Деякі питання геометрії вироджених трикутників
Малюнок 1. Центроїд трикутника
Застосування методів векторної алгебри дозволяє виявляти ті особливі властивості фігур, які можуть вислизнути від нас при їх наочно-геометричному розгляді, і при цьому не втратити геометричну наочність факту, що вивчається (як це часто буває при застосуванні методу координат).
Зупинимося на деяких фактах, пов'язаних із геометрією трикутника, які пізніше будуть застосовані до вироджених трикутників, що дозволить отримати цікаві результати.
Домовимося про позначення: крапки позначатимемо великими буками звичайним шрифтом (наприклад: А, B), а радіус-вектори точок (і звичайні вектори) - жирним курсивом (наприклад A, G, BC, b).
1. Центроїд трикутника. Точка G перетину медіан трикутника АВС називається його центроїдом. Виразимо радіус-вектор G центроїду через радіус-вектори A, B, C вершин трикутника за будь-якого вибору початку векторів - точки О.
За якістю медіан трикутника CG:GM=2 (див. рис.1), отже G=(C+2M)/3, де М - середина боку АВ, тобто. M=(A+B)/2. Отже,
Вірне і зворотне: якщо точки А, В і С не колінеарні і має місце умова (1), то точка G є центроїд трикутника АВС. Справді, нехай точка М - середина відрізка АВ, т. е. за будь-якого вибору початку векторів маємо M=(A+B)/2. Тоді з рівності (1) отримаємо G=(C+2M)/3, тобто. G ділить медіану СМ щодо 2:1 і тому є центроїдом трикутника АВС.
2. Ортоцентр трикутника. Пряма Ейлер. Якщо за початок векторів взяти центр Про описаного навколо трикутника АВС кола, то радіус-вектор ортоцентра Н (точки перетину висот) цього трикутника дорівнює
Малюнок 2. Ортоцентр трикутника
Справді, вектори A+B і H-C (див. рис.2)колінеарні, отже, A+B = l(H-C).
З цієї причини B+C = m(H-A).
Після почленного віднімання цих рівностей отримуємо:
A-C = (l - m)H - lC + mA або
(1 - m)A + (l - 1)C + (m - l)H = 0
і при цьому сума коефіцієнтів
(1 – m) + (l – 1) + (m – l) = 0.
Виконання двох цих умов можливе лише у двох випадках:
або коли точки А, С і Н колінеарні (це неможливо за умовою), або коли
(1 – m) = (l – 1) = (m – l) = 0.
Отже, має місце останнє:
Оскільки за будь-якого вибору початку векторів точки О
то в даному випадку G = H/3, тобто точки О, G і Н колінеарні та OG: GH = 1:2. Пряма OGH називається прямою Ейлера для трикутника АВС.
Теорема 1: Точки, симетричні ортоцентру трикутника щодо його сторін та середин сторін, лежать на колі, описаному навколо цього трикутника.
Доказ: Приймемо центр описаного кола за початок радіусу - векторів точок. Якщо точка Е1 симетрична Н щодо середини сторони ВС (див. рис.3), то :
E1 = B + C - H = -A, тобто. точки A і E1 діаметрально протилежні та
Нехай пряма АН перетинає пряму ПС у точці К, а коло - у точці Н1. Якщо ОД перпендикулярна до ВС і ОF перпендикулярна до АК, то:
K = D+F, D = (B+C)/2, F = (A+H1)/2 і, отже, K = (B+C+A+H1)/2 = (H+H1)/2 , тобто. Н1 симетрична точці Н щодо прямої НД. Для точок Н2 та Н3 доказ аналогічний.
Теорема 2: У кожному трикутнику середини сторін, основи висот і три точки, що ділять навпіл відрізки висот від вершин до ортоцентра, лежать на одному колі, що називається колом дев'яти точок трикутника.
Доказ: За початок векторів приймемо центр Про описаного біля трикутника кола(Диви рис.4). Позначимо через Оi середини сторін, через Нi підстави висот, через Кі середини відрізків висот від ортоцентру до вершини (i = 1, 2, 3).
Якщо L – середина відрізка ВІН, то
L = H/2 = (A + B + C)/2,
LO1 = O1 - L = (B + C) / 2 - (A + B + C) / 2 = -A/2,
LK1 = K1 – L = (A + H)/2 – H/2 = A/2.
Отже, точки Оi і Кi (i =1, 2 ,3) симетричні щодо L, тобто. належать колу з центром L і радіусом, що дорівнює половині радіусу R описаного кола, так як LO12 = LK12 = (±A/2)2 = R2/4. Кути ОiHiKi ( i=1, 2, 3) прямі і спираються на діаметри отриманого кола, а тому точки Hi цього кола належать. Надалі зупинимося на застосуванні розглянутих фактів до вироджених трикутників, тобто. таким трикутникам, у яких збігаються дві чи три вершини.
3. Трикутник з двома збіглими вершинами.
Якщо вершини В і С трикутника АВС збіглися, то сторона ВС = а буде дотичною до описаного біля трикутника кола в цій точці, а довжина сторони ВС дорівнюватиме нулю.
Отже, визначити трикутник з двома вершинами, що збіглися (вироджений трикутник) можна двояко:
1) це хорда АВ кола з одним подвійним кінцем;
2) це відрізок АВ та пряма, що проходить через його точку В.
В останньому випадку описана біля трикутника АВС коло стосується прямої а в точці, що лежить на ній. Таке коло - єдине.
В отриманому трикутнику з двома збіглися вершинами величина кута А дорівнює нулю, а кути В і С - суміжні, тому сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 1800. Розглянемо інтерпретацію для цього трикутника властивостей невиродженого трикутника.
Так, за будь-якого вибору початку Про векторів G=1/3(A+2B), тобто. центроїд G ділитьвідрізок АВ щодо л=2:1. Ортоцентр Н визначиться як також перетин висоти АHi ^ а і подвійної висоти, що проходить через точку В є перпендикулярно до АВ. Якщо початок векторів прийняти центр Про описаного кола, то Н = А + 2В (рис.5).
Отже, вектори G і Н колінеарні та OG: GH = 1:2.
Стосовно даного випадку теорема 1 звучить так:
Якщо АВ - хорда кола, а - дотична до неї в точці і перпендикуляри з точки А до прямої а з точки В у прямий АВ перетинаються в точці Н, то точки Е, F і K, симетричні Н відповідно щодо а, В і середини АВ, належать даному колу (рис.5).
Для звичайного трикутника має місце теорема Сімпсона:
ортогональні проекції точки кола на сторони вписаного в неї трикутника лежать на одній прямій, яка називається прямою Симпсона для даного трикутника.
Для трикутника виродженого цей факт тривіальний: точки М1 та М2 збіглися, а дві точки М1 є М2 та М3 завжди визначають пряму лінію (рис.6).
Однак, оскільки DММ1В
DММ3А, (вони прямокутні і кути МВМ1 і МАМ3 вимірюються половиною дуги МnB), то МВ: МА = ММ2: ММ3 або МВ · ММ3 = МА · ММ2, тобто. отримуємо теорему 3:
Якщо АВ - хорда кола і а - дотична до неї в точці, то добуток відстаней довільної точки кола до точки торкання і до хорди дорівнює добутку відстаней цієї точки до другого кінця хорди і до дотичної.
Теорема 2 (про коло дев'яти точок трикутника) для виродженого трикутника може бути сформульована так:
Якщо АВ - хорда кола, а - дотична до неї в точці і перпендикуляри АH1 до прямої а і FB до прямої АВ перетинаються в точці Н (рис.5), то підстави H1 і В цих перпендикулярів і середини відрізків АВ,АН і ВН лежать на одному колі, радіус якого дорівнює половині радіусу даного кола.
Трикутник з трьома збіглими вершинами (двічі вироджений трикутник).
Такий трикутник можна задати за допомогою точки А кола (рис.7). У цьому випадку всі три сторони збігаються, бо А = В = С, і є дотичною а до кола в точці А. Якщо за початок векторів прийняти центр О описаного кола, то G = A і H = 3A, тобто. ОАН - пряма Ейлера для виродженого трикутника та OG: GH = 1:2. Точка Н', симетрична Н щодо сторін та середин сторін виродженого трикутника АВС, лежить на колі (О,ОА), описаного біля цього трикутника.
Щоб з'ясувати положення прямої Сімпсона, звернемося до рис.6. Так як РММ1В = РММ3В = 900 то точки М1 є М2 і М3 належать окружності діаметра МВ. Отже, якщо А = В, то пряма М1М3 Сімпсона буде дотичною в точці М1 до кола діаметра МА = МВ (рис.7).
Колом дев'яти точок трикутника АВС є коло, що стосується описаного кола в точці А (основа трьох висот, середини трьох сторін) і проходить через середину відрізка НА, тобто. її радіус дорівнює половині радіуса цього кола.
Майоров В.М., Скопець З.О. Векторне вирішення геометричних завдань. М.- Просвітництво, 1968.
Скопець З.А., Панарін Я.П. Геометрія тетраедра та його елементів. Ярославль, 1974.