Дешковський А, Койфман Ю
Дешковський А., Койфман Ю. Метод розмірностей у вирішенні завдань // ФПВ. - 2002. - № 2. - С. 71-81.
(1)
Тут p-тиск газу, т0 - маса молекули, n - концентрація, u - швидкість молекули.
Залежність (1) мовою розмірностей має вигляд:
(2)
(3)
Порівняння розмірності лівої та правої частини дає систему рівнянь
(4)
(5)
Звернімо увагу, що коефіцієнт пропорційності не можна визначити, використовуючи метод розмірностей, але, тим щонайменше, ми отримали непогане наближення до відомому співвідношенню (основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії).
Розглянемо кілька завдань, з прикладу вирішення яких продемонструємо суть методу розмірностей.
(6)
Представимо всі вищезгадані величини:
(7)
З урахуванням (7) перепишемо шукану закономірність виразом
(8)
(9)
Тепер вже неважко записати систему рівнянь:
(10)
(11)
(12)
Завдання 2. Експерименти показали, що швидкість звуку в газах залежить від тиску та густини середовища. Порівняйте швидкості звуку в газі для двох станів.
На перший погляд здається, що нам необхідно ввести в розгляд температуру газу, тому що добре відомо, що швидкість звуку залежить від температури. Однак (порівняйте з міркуванням вище) тиск може бути виражений як функція щільності (концентрації) та температури середовища. Тому одна з величин (тиск, густина, температура) є «зайвою». Оскільки за умовою завдання пропонується порівняти швидкості різних тисків і щільностей, то розумно виключити з розгляду температуру. Зазначимо, що якби нам треба було зробитипорівняння для різних тисків і температур, ми виключили б щільність.
(13)
(14)
(15)
Рішення (15) дає .
(16)
(17)
(18)
Завдання 3. На циліндричний стовп намотаний канат. За один з кінців каната тягнуть із силою F. Для того, щоб канат не ковзав по стовпу, коли на стовп намотаний лише один виток, другий кінець утримується з силою f. З якою силою слід утримувати цей кінець каната, якщо на стовп намотано n витків? Як зміниться сила f, якщо вибрати стовп удвічі більший за радіус? (Сила f не залежить від товщини каната.)
(19)
(20)
оскільки а = 1; с = 0 (a - коефіцієнт пропорційності, пов'язаний з μ). Для другого, третього, . п-го намотаного витка запишемо аналогічні вирази:
(21)
(22)
Добре відомо, що «метод розмірностей» найчастіше з успіхом застосовується в гідродинаміці та аеродинаміці. У деяких випадках він дозволяє «оцінити рішення» досить швидко та з гарним ступенем надійності.
Завдання 4. Оцініть силу опору тіл, що рухаються у рідині.
(23)
(24)
(25)
де. Коефіцієнт с характеризує обтічність тіл і набуває різних значень для тіл: для кулі с = 0,2 – 0,4, для круглого диска с = 1,1 – 1,2, для краплеподібного тіла з 0,04. (Яворський Б.М., Пінський А.А. Основи фізики. - Т. 1. - М.: Наука, 1974.)
Досі ми розглядали приклади, в яких коефіцієнт пропорційності залишався безрозмірною величиною, проте це не означає, що ми повинні завжди дотримуватися цього. Цілком можливо зробити коефіцієнт пропорційності «розмірним», що залежить від розміру основних величин. Наприклад, цілком доречно уявити постійну гравітаційну . Іншими словами, наявністьрозмірності гравітаційної постійної означає, що її чисельне значення залежить від вибору основних величин. (Тут нам здається доречним зробити посилання на статтю Д.В.Сівухіна "Про міжнародну систему фізичних величин", УФН, 129, 335, 1975.)
Завдання 5. Визначте енергію гравітаційної взаємодії двох точкових мас т1 і т2, що знаходяться на відстані r один від одного.
(26)
(27)
Аналізуючи співвідношення (26), знайдемо, що
(28)
Завдання 6. Знайдіть силу взаємодії між двома точковими зарядами q1 та q2, що знаходяться на відстані r.
(29)
(30)
Зробивши всі перетворення, отримаємо систему рівнянь
(31)
(32)
(33)
У співвідношенні (33) відсутній безрозмірний коефіцієнт 4π, який було введено з історичних причин.
Завдання 7. Визначте напруженість гравітаційного поля нескінченного циліндра радіусом r0 та щільністю r на відстані R (R &r r0) від осі циліндра.
(34)
(35)
Складемо систему рівнянь:
(36)
(37)
Зазначимо, що заміна змінної дозволила спростити розв'язання задачі.
Вирішити запропоновану задачу методом розмірностей без заміни змінної дуже складно.
Розглянемо завдання, яке можна вирішити, застосовуючи принцип розбиття «однакової» розмірності на «різні».
Завдання 8. Оцініть дальність польоту та висоту тіла, кинутого під кутом a до горизонту. Опір повітря знехтувати.
. (38)
(39)
(40)
(41)
Даний метод є більш складним, проте добре працює, якщо є можливість розрізнити величини, що вимірюються однією і тією самою одиницею виміру. Наприклад: інерційна та гравітаційна маса («інерційні» та«гравітаційні» кілограми), вертикальна та горизонтальна відстань («вертикальні» та «горизонтальні» метри), сила струму в одному та іншому ланцюгу тощо.
Підсумовуючи все вищевикладене, зазначимо:
1. Метод розмірностей може бути використаний у разі, якщо шукана величина може бути представлена у вигляді статечної функції.
2. Метод розмірностей дозволяє якісно вирішити завдання та отримати відповідь з точністю до коефіцієнта.
3. У деяких випадках метод розмірності є єдиним способом вирішити завдання і хоча б оцінити відповідь.
4. Аналіз розмірностей під час вирішення завдань широко використовують у наукових дослідженнях.
5. Розв'язання задач методом розмірностей є додатковим чи допоміжним методом, що дозволяє краще зрозуміти взаємодію величин, їх вплив один на одного.