Дескриптивна теорія - безліч - Технічний словник Том VI
Дескриптивна теорія множин виникла у зв'язку з вирішенням деяких спеціальних питань-питання про потужність В-множин і питання про ефективну побудову множин, що не є множинами. Роботи першого періоду тісно пов'язані з цими проблемами. Основні результати з дескриптивної теорії множин і функцій були отримані в Радянському Союзі в 2 - му і 3 - му десятиліттях 20 ст. Борелівські множини відіграють важливу роль у дескриптивній теорії множин. Поряд з теорією тригонометричних рядів та дескриптивною теорією множин Андрій Миколайович займається в цей час і низкою загальних питань класичного аналізу - диференціюванням та інтегруванням, теорією міри, а також математичною логікою. Багато, суслінське безліч, - див. Дескриптивна теорія множин. З'ясовано взаємини з ZF багатьох важливих проблем дескриптивної теорії множин. Методи аксіоматичної теорії множин дозволили виявити невідомі раніше зв'язки між проблемами наївної теорії множин. Доведено, наприклад, що з існування незмірної по Лебегу множини дійсних чисел типу Sj (тобто А2) випливає існування незліченної П] (тобто С А) множини без досконалої підмножини. З'ясовано взаємини з ZF багатьох важливих проблем дескриптивної теорії множин. Навпаки, для математика, що працює в дескриптивній теорії множин, краще аксіома детермінованості, що вирішує багато проблем з галузі проективних множин, які неможливо вирішити на базі традиційних теоретико-множинних аксіом, навіть з додаванням аксіоми вибору. Нарешті, особливо важливе питання, де методами дескриптивної теорії множин користуються постійно, це питання про встановлення вимірності будь-якогомножини. Дуже багато завдань метричної теорії функцій та суміжних з нею областей потребують таких доказів. У цих випадках буває дана деяка конструкція множини, виходячи з якої необхідно вирішити питання про його вимірність. Відповідь виходить оцінкою дескриптивної природи множини. Александрова привернули увагу А.Н.Колмогорова до проблем так званої дескриптивної теорії множин. І все в тому ж 1922 він проводить велике дослідження з теорії операцій над множинами. Прикладами цього можуть служити докази несуперечності деяких положень дескриптивної теорії множин (1951) (частина з яких була сформульована раніше До. Результати цього роду сприяють подоланню платонпстської точки зору, згідно з якою будь-яка проблема теорії множин (і математики взагалі) незалежно від якої б то пі було аксіо. Навпаки, в бікомпактах, що задовольняють цій останній умові, побудова дескриптивної теорії множин, очевидно, обіцяє цілком серйозний успіх. Нарешті, крім зв'язку з різними областями математики необхідно відзначити глибокі зв'язку дескриптивної теорії множин з математичною логікою Однією з важливих завдань останньої є вивчення природи труднощів, що виникають у задачах теорії множин, як, наприклад, проблема континууму або проблема потужності СД-множин, але дескриптивна теорія множин виділила кілька таких проблем, в яких виникли специфічні труднощі логічної природи, з іншого боку, нові ідеї математичної логіки виявляють явну спорідненість з ідеями дескриптивної теорії множин. Значення цього факту таке, що він був би здатний зробити дескриптивну теорію множин необхідною складовою аналізу. А-мпожествами на честь П. С. Александрова), які можуть не бутиборелевськими (див. Дескриптивна теорія множин), А-О.