Диференційовані паростки та катастрофи - Брекер Т

Диференційовані паростки та катастрофи

Ліцензія ЛР N5024851 від 17.07.93 р.

Підписано до друку 21.01.97 р. Формат 60x88/16 Др.л. 13. Замовлення N) 318.

400062, м.Волгоград, вул.Кірова, 71/15

Предметом книги Брекера і Ландер є критичні точки сімейств гладких функцій, що залежать від параметрів. Дослідження таких сімейств часто зустрічається у різних грикладах. Книга Брекера і Ландера є першим у світовій літературі підручником з цих питань, написаним з великою увагою до читача, який має на увазі лише дуже невеликі математичні знання. Для більш глибокого вивчення загальної теорії особливостей гладких відображень Вітні-Тома-Мезера слід звернутися до підручника М. Голубицького та В. Гійєміна «Стійкі відображення та їх особливості», який нещодавно вийшов в українському перекладі.

В. Арнольд Жив колись Чжу,

Який навчався вбивати драконів,

І віддав усе, що мав,

Щоб опанувати це мистецтво.

Через три роки Він досяг майстерності,

Але, на жаль, йому жодного разу не випала нагода застосувати своє вміння.

І тоді він почав навчати інших Мистецтву вбивати драконів,

') Підрядковий переклад з китайської див. у книзі: Атеїсти, матеріалісти, діалектики Стародавнього Китаю, М., 1967, стор 310. - Прим. ред. ПЕРЕДМОВА

У літньому семестрі 1972 р. я прочитав у Фрейбурзькому університеті курс лекцій з .локальної теорії диференційованих відображень. Ці лекції склали основу перших тринадцяти розділів цієї книги. Наступні три розділи були написані для літії школи, організованої суспільством The Studi-enstiftung des deutschen Volkes. Mr та студенти допомоглимені позбавити перший варіант рукопису багатьох помилок, після чого Л. Ландер переклав її англійською. Він зробив також велику кількість покращень і виправлень і написав останній розділ разом з усіма її малюнками та бібліографією. В останніх розділах обговорюється тема, заради якої, власне, і була написана ця книга: класична теорія катастроф.

Невелика кількість екземплярів німецького тексту цієї книги була надрукована для наших студентів під назвою: Відображення, що диференціюються (Der Regensburger Trichter, Band 3, Differenzier-bare Abbildungen).

Нижче читач не знайде жодних нових результатів чи методів. Ми поставили за мету полегшити студентам, які добре освоїли основні курси алгебри та аналізу, вивчення недавніх робіт з диференційованих відображень і, зокрема, допомогти їм опанувати таємниці теорії катастроф.

Про що ця книга?

Нехай f: — відображення, що диференціюється

ня. Що можна сказати про безліч 1 * т-е. про 8

безлічі рішень нелінійної системи рівнянь? Ми починаємо з однієї теореми Уітні та теореми Сарда, наведених у 2.1 та 3.3, і, зокрема, виявляємо, що цікаві структури можуть бути знайдені лише для відображення загального становища. Особливий інтерес становлять звані стійкі відображення. Відображення f: Rn-*R* називається стійким, якщо для будь-якого малого обурення fi:Rn-*-Rft існують оборотні перетворення А, н й2, такі, що діаграма

комутативна. Природно очікувати, що форми, що у природі, мають описуватися стійкими відображеннями, оскільки у природі піддається малим обуренням. Чи є "майже всяке" відображення стійким? Як потрібно інтерпретувати поняття стійкості?

У кожному введенні в аналіз пояснюється, що будь-якийдиференційований паросток f: (R, 0) -* (R, 0) з ненульовим рядом Тейлора в нулі можна перетворити в перший ненульовий член цього ряду за допомогою відповідної заміни координат. Що відбувається у вищих розмірностях? Коли відросток диференційованого відображення визначається (з точністю до замін координат) кінцевим відрізком свого розкладання Тейлора?

Такими є деякі з питань, що обговорюються в цій книзі. Можливо, вони спонукають читача серйозно зайнятися вивченням та розвитком деяких, ідей Р. Тома.

Регенсбург, весна 1974

Теодор Брекер 1. РОСТКИ ПОСТОЯННОГО РАНГУ

Література: Ж-Дьєдонне, Основи передчасного аналізу, «Світ», М., 1964.

1.1. Нехай А - довільне підмножина в R". Відображення f: j4-> = f і всі похідні F всіх порядків існують і безперервні. 2 3 4 5 6 7 .. 52 >>