Додаткові питання теорії диференціальних рівнянь

У цій лекції розглядається завдання Коші для рівняння першого порядкуy' = f(x, y): знайти рішенняy = y(x)рівняння, що задовольняє початкову умовуy ( x0) = y0.Спочатку нагадаємо деякі допоміжні поняття та твердження.

1. Рівномірна збіжність послідовності:

2. Властивості послідовностей функцій, що рівномірно сходяться :

а) функціїyn( x )- безперервні в [a, b],yn( x )y(x)y(x)-безперервна в [a, b];

б) функціїyn( x )- безперервні в [a, b],yn( x )y ( x ); в) функціїyn(x) -диференційовані в (a, b),yn(x0) y(x0)приx0 (a, b), y'n(x)

(x)yn( x )y ( x ),y'(x) =(x) в (a, b).

3. Теорема Вейєрштрасса :ряд визначений - сходиться

4. Умова Липшиця :функціяf ( x , y )в областіGзадовольняє умові Липшиця поy

5. Лемма :функціяf(x, y)- безперервнаxі задовольняє умові Липшица поyв областіG,отжеf(x, y)безперервна вGза сукупністюxіy.

НехайG- обмежена замкнута область на площині(x, y). Точка(x0, y0) G. Нехайf(x, y)- безперервна вGі задовольняє умові Липшиця поy.Тоді існує єдине рішенняy = y(x)рівнянняy' = f(x, y), що задовольняє початковій умовіy(x0) = y0. Функціяy(x)визначена і безперервна в деякійоколиці і має там безперервну похідну.

Лемма. Якщоf ( x , y )- безперервне вG, то завдання Коші рівносильне інтегральному рівнянню

Справді, якщоy(x)- розв'язання задачі Коші в околиці виконується тотожність

---