ДОДАТОК ЗЛІВА НАПРАВО - Магія чисел
Більшість із нас навчені проводити письмові обчислення праворуч наліво. І це нормально для рахунку на папері. Але у мене є досить багато переконливих аргументів, які пояснюють, чому це краще робити зліва направо, щоб рахувати в умі (тобто швидше, ніж на папері). Зрештою, числову інформацію ви читаєте зліва направо, вимовляєте числа теж зліва направо, тому й думати про числа (і рахувати їх) більш природно зліва направо. Обчислюючи відповідь праворуч наліво, ви генеруєте її у зворотному напрямку. Це робить обчислення в розумі такими складними. До того ж, щоб просто оцінити результат обчислень, важливіше знати, що він трохи більше 1200, ніж те, що він закінчується на 8.
Отже, застосовуючи метод ліворуч, ви починаєте рішення з найбільш значущих цифр вашої відповіді. Якщо ви звикли працювати на папері справа наліво, то вам може здатися неприродним новий підхід. Але з практикою до вас прийде розуміння, що це найефективніший спосіб для усних обчислень. Хоча, можливо, перший набір завдань — додавання двоцифрових чисел — і не переконає вас у цьому. Але виявляйте терпіння. Якщо будете слідувати моїм рекомендаціям, то незабаром зрозумієте, що єдиним легким шляхом до вирішення задач на додавання тризначних (і більш «значних») чисел, всіх завдань на віднімання, множення та поділ є метод зліва направо. Чим раніше ви привчите себе діяти так, тим краще.
Додавання двоцифрових чисел
Насамперед я виходжу з того, що ви знаєте, як складати і віднімати числа, що складаються з однієї цифри. Ми почнемо зі складання двоцифрових чисел, хоч я й підозрюю, що ви непогано вмієте робити це в умі. Однак наступні вправи все одно стануть для вас гарною практикою, тому що навички складання двоцифрових чисел, які ви придбаєте врезультаті, знадобляться вирішення найважчих завдань додавання, як, втім, й у багатьох завдань множення, запропонованих у наступних главах. У цьому проілюстровано фундаментальний принцип усної арифметики, а саме: «спрощуйте завдання, розбиваючи його на менші, які простіше розв'язуються». Це ключ практично до кожного методу, представленого в цій книзі. Перефразовуючи старе прислів'я, є три складові успіху: спрощуй, спрощуй та спрощуй.
Найлегші завдання додавання двоцифрових чисел — ті, які вимагають від вас пам'ятати якісь цифри (тобто коли перші дві цифри у сумі дають 9 чи менше чи сума останніх двох цифр дорівнює 9 і менше). Наприклад:
Щоб скласти 47 + 32, спочатку 30 додаємо до 47, а потім до отриманої суми додаємо 2. Після додавання 30 і 47 завдання спрощується: 77 + 2 і 79. Проілюструємо це наступним чином:
Тепер спробуємо обчислення, в якому необхідно тримати числа в умі:
Додаючи зліва направо, ви можете звести завдання до дії 67 + 20 = 87, а потім до додавання 87 + 8 = 95.
Тепер спробуйте самі, після чого повірте, як це зробили ми.
Ну що, вийшло? Ви склали 84+50=134, а потім 134+7=141.
Якщо утримання цифр в розумі спричиняє ваші помилки, не переживайте. Ймовірно, це ваша перша спроба виконати систематизоване усне обчислення і, як і більшості людей, вам знадобиться час запам'ятати числа. Однак з досвідом ви зможете утримувати їх в розумі автоматично. Як практика спробуйте вирішити усно ще одне завдання, а потім знову повірте з тим, як це зробили ми.
Вам слід було скласти 68 + 40 = 108 і 108 + 5 = 113 (підсумкова відповідь). Чи вам було простіше? Якщо хочете перевірити свої сили на більшій кількості завдань наскладання двоцифрових чисел, зверніться до прикладів, наведених нижче. (Відповіді та перебіг обчислень наведено в кінці книги.)
Додавання трицифрових чисел
Стратегія складання трицифрових чисел точно така сама, як і двоцифрових: ви складаєте зліва направо і після кожного кроку переходите до нового, більш простого завдання на додавання.
Спочатку додаємо до 538 число 300, потім 20, потім 7. Після додавання 300 (538 + 300 = 838) завдання зводиться до 838 + 27. Після додавання 20 (838 + 20 = 858) задача спрощується до 88. роду розумовий процес може бути представлений у вигляді наступної схеми:
Усі завдання на усне додавання можна вирішити у такий спосіб, послідовно спрощуючи завдання до того часу, поки залишиться просто додати однозначне число. Зверніть увагу, що приклад 538 + 327 вимагає утримання в умі шести цифр, тоді як 838 + 27 та 858 + 7 — лише п'ять і чотири цифри відповідно. Якщо ви спрощуватимете завдання, вирішити її стає легше!
Спробуйте вирішити в думці наступне завдання на додавання, перш ніж подивіться наше рішення
Ви спростили її, складаючи цифри зліва направо? Після складання сотень (623 + 100 = 723) залишилося скласти десятки (723 + 50 = 773). Спростивши завдання до 773 + 9, у сумі отримуємо 782. У вигляді схеми розв'язання задачі виглядає так:
Коли я вирішую подібні завдання в голові, я не візуалізую числа, а намагаюся чути їх. Я чую приклад 623 + 159 як шістсот двадцять три плюс сто п'ятдесят дев'ять. Виділяючи собі слово сто, я розумію, з чого почати. Шість плюс один дорівнює семи, отже моє наступне завдання сімсот двадцять три плюс п'ятдесят дев'ять і так далі. Вирішуючи такі завдання, також робіть це вголос. Підкріплення у вигляді звуків допоможе вам освоїти цей метод набагато швидше.
Завдання наскладання трицифрових чисел насправді не буває складнішим за наступну:
Погляньте на те, як це станеться:
На кожному етапі я чую (а не бачу) нове завдання на додавання. У мене в голові це звучить приблизно так:
858 плюс 634 і 1458 плюс 34,
одно 1488 плюс 4, дорівнює 1492.
Ваш внутрішній голос може звучати інакше, ніж мій (не виключено, що вам зручніше бачити числа, а не чути їх), але, як би там не було, наша мета – «підкріплювати» числа на їхньому шляху, щоб не забути, на якому На етапі вирішення задачі ми знаходимося і не починати все спочатку.
Давайте ще попрактикуємось.
Спочатку складіть в думці, потім перевірте обчислення.
Цей приклад трохи складніший за попередній, оскільки вимагає тримати в умі числа протягом усіх трьох кроків.
Однак у ньому можна скористатися альтернативним методом підрахунку. Я впевнений, що ви погодитеся: набагато простіше до 759 додати 500, ніж 496. Так що спробуйте додати 500 і потім відняти різницю.
До цього часу ви послідовно розчленовували друге число, щоб скласти його з першим. Насправді немає значення, скільки розбивати на частини, важливо дотримуватися порядок дій. Тоді вашому мозку не доведеться вирішувати, в який бік попрямувати. Якщо запам'ятати друге число набагато легше першого, їх можна поміняти місцями, як у прикладі.
Закінчимо тему додаванням тризначних чисел із чотиризначними. Так як пам'ять середньостатистичної людини одночасно може утримувати лише сім або вісім цифр, це якраз відповідне завдання, з яким ви можете впоратися, не вдаючись до штучних пристроїв запам'ятовування (наприклад, пальці, калькулятори або прийоми мнемотехніки з глави 7). У багатьох завданнях додавання одне чи обидва числа закінчуються на 0, томуприділимо увагу прикладам такого типу. Почнемо з найлегшого:
Так як 27 сотень + 5 сотень дорівнює 32 сотням, ми просто додаємо 67 з метою отримати 32 сотні та 67, тобто 3267. Процес рішення ідентичний для наступних завдань.
Оскільки 40 + 18 = 58, перша відповідь - 3258. У другому прикладі 40 + 72 у сумі більше 100, тому відповідь буде 33 сотні з «хвостиком». Отже, 40 + 72 = 112, тож відповідь - 3312.
Ці завдання легкі, тому що значущі цифри (відмінні від нуля) у них складаються лише один раз і приклади можна вирішити в одну дію. Якщо цифри складаються двічі, то й дій знадобиться два. Наприклад:
Завдання у дві дії схематично виглядає наступним чином.
Тренуйтеся на поданих нижче вправах у складанні трицифрових чисел до тих пір, поки не станете з легкістю виконувати їх в розумі, не підглядаючи у відповідь. (Відповіді знаходяться наприкінці книги.)
Карл Фрідріх Гаус: вундеркінд від математики
Вундеркінд — дуже талановита дитина. Зазвичай його називають «розвиненим за роками» чи «обдарованим», оскільки майже завжди випереджає однолітків у розвитку. Німецький математик Карл Фрідріх Гаус (1777-1855) був одним із таких дітей. Він часто вихвалявся тим, що навчився робити розрахунки раніше, ніж говорити. Будучи трьох років від народження, він виправив платіжну відомість батька, заявивши: «Підрахунки неправильні». Подальша перевірка відомості показала, що малюк Карл мав рацію.
У десятирічному віці учень Гаус отримав на уроці наступне математичне завдання: яка сума чисел від 1 до 100? Поки однокласники відчайдушно проводили розрахунки з папером та олівцем, Гаусс одразу уявив собі, що якщо він запише числа від 1 до 50 зліва направо, а від 51 до 100 – праворуч наліво прямо під списком чисел від1 до 50, то кожна сума чисел, що стоять один під одним, дорівнюватиме 101 (1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 ...). Оскільки виходило всього п'ятдесят таких сум, відповідь склала 101 х 50 = 5050. На загальне здивування (включаючи вчителі), юний Карл отримав відповідь, не тільки випередивши всіх інших учнів, а й обчисливши його цілком в умі. Хлопчик записав відповідь на своїй грифельній дошці і шпурнув її на стіл вчителя з зухвалими словами: «От відповідь».
Вчитель був настільки вражений, що за свої гроші купив найкращий із доступних підручників з арифметики і віддав його Гаусс, заявивши: «Це перевищує межі моїх можливостей, я більше нічого не зможу його навчити».
Дійсно, Гаусс став вивчати математику інших і зрештою досяг небувалих висот, прославившись одним з найбільших математиків в історії, чиї теорії досі служать науці. Його бажання краще розуміти природу за допомогою мови математики було підсумовано в його гасло, взятому з шекспірівського «Короля Ліра» (замінюючи «закон» на «закони»): «Природа, ти моя богиня! У житті лише твоїм законам слухняний».