Є фігу

можна

1.3 МБ. - Саратовська група теоретичної нелінійної динаміки

  • Show more documents
  • Share
  • Embed
  • Download
  • Info
  • Flag

є фігура праворуч. Зауважимо, що поля напрямів після застосування відображення збігаються з вихідними полями, причому по одному з них здійснюється стиск, а по іншому розтягування. Це забезпечує гіперболічну природу атрактора. Наявність вирізів, чи дірок, важливо. Як доведено Пликіним, три - мінімальна кількість дірок, необхідна, щоб в обмеженій частині площини міг бути однорідно гіперболічний атрактор. У двовимірній ділянці з трьома і більше дірками можна сконструювати багато гіперболічних атракторів, що відрізняються один від одного за топологічною структурою [2]. Про них говорять, як про атракторів типу Пликіна. Одна із модифікацій представлена ​​на рис. 3, б; Відповідний атрактор називатимемо атрактором Плыкина–Ньюхауса [8, 21]. Атрактори типу Пликіна можна розглядати на сфері. Перехід із площини на сферу і назад проводиться заміною змінних, яка дається відомою з елементарної геометрії стереографічною проекцією. 3. Гіперболічні атрактори ітерованих відображень Математики зазвичай прагнуть конструювати моделі так, щоб по можливості полегшити доказ гіперболічної природи атракторів. Ми ж віддаємо перевагу моделям, для яких робочі співвідношення задані аналітично єдиним чином для всього фазового простору. Щодо обґрунтування гіперболічної природи атрактора, то в цій ситуації доречно використовувати комп'ютерну перевірку критерію конусів. DA-атрактор. Відображення кота Арнольда можна уявити яккомпозицію двох відображень, що відповідають половині кроку. Саме якщо p n+ 1 = p n +q n , 2 q n+ 1 = q n і p n+1 = p 2 n+ 1 , q n+1 = p 2 n+ 1 + q 2 n+ 1 , то на повному кроці p n+ 1 = p n + q n , 2 q n +1 = p n + 2q n. Як альтернативу «хірургії Смейла» виконаємо DAмодифікацію, використовуючи гладкі функції. На першому півкроці додамо до першого рівняння непарну функцію p, щоб збереглася нерухома точка на початку координат. Ця функція повинна мати період 1. Враховуючи дві гармоніки Фур'є, поставимо співвідношення амплітуд так, щоб поблизу середини інтервалу вплив добавки по можливості виключити. Це призводить до функції sin 2πp + (1/2) sin 4πp. На другому півкроці добавку у вигляді такої функції від q вводимо в друге рівняння. Комбінуючи обидва півкроки, маємо p n+1 = p n + q n + ε 2π (sin 2πp n + 1 2 sin 4πp n) (mod 1), q n+1 = p n + 2q n + ε 2π (sin 2πp n + 1 2 sin 4πp n + sin 2πq n + 1 2 sin 4πq n) (mod 1), (2) де ε характеризує відносну величину добавок та вибирається в інтервалі від 1/8 до 4/9. 2 2 Зі зростанням ε, починаючи від нуля, обидва мультиплікатори нерухомої точки збільшуються. Перший завжди більше одиниці, а другий досягає одиниці при ε = ε 1 = 1/8, що відповідає виникненню нестійкості у другому напрямку. Визначник матриці Якобі залишається позитивним у всьому одиничному квадраті, поки ε More magazines by this user