Економетрія лекції - Лекції економетрію - Модуль №1 - 3_Прогнозування

Лекція №3. Двофакторна модель: передбачення одного фактора на підставі іншого

ЛЕКЦІЯ №3 Тема: «Двофакторна модель: передбачення одного фактора на підставі іншого»

3.1. Регресійний аналіз.

3.2. Перевіряє надійність регресійної моделі.

3.1. Регресійний аналіз.

Регресійний аналіз полягає у прогнозуванні однієї змінної на підставі іншої.Лінійний регресійний аналізпрогнозує значення однієї змінної на підставі іншої за допомогою прямої лінії.Нахилцієї лінії, виражається в одиницях виміруУна одну одиницюXі характеризує крутість підйому або спуску (якщоbнегативне) лінії. Зсув,a, дорівнює значенню, яке приймаєУприX,рівному 0. Рівняння прямої лінії має такий вигляд:

Лінія найменших квадратівхарактеризується найменшою з усіх можливих ліній сумою зведених у квадрат помилок прогнозування по вертикалі та використовується як найкраща лінія прогнозування, заснована на даних.Нахилцієї лінії,b,називають такожкоефіцієнтом регресіїУпоX,а зсува(відрізоквідсікається на осіУ) називають такожпостійним членом регресії. Нижче наведено рівняння для нахилу та зсуву, відповідні лінії найменших квадратів.

Нахил дорівнює:

.

Зсув дорівнює:

.

Формула для лінії найменших квадратів має такий вигляд:

Прогнозоване значенняУдорівнює:

.

Прогнозоване значенняУпри заданому значенніXвизначається шляхом підстановки цього значенняXв рівняння для лінії найменших квадратів. Кожна з точок даних характеризується залишком -4 помилкоюпрогнозування, що вказує, наскільки вище або нижче за лінію знаходиться точка.

3.2. Перевірка надійності регресійної моделі.

Існують два заходи відповідності лінії найменших квадратів наявним даним.Стандартна помилка оцінки (або передбачення),яку позначають

,приблизно вказує величину помилок прогнозування (залишків) для наявних даниху тих самих одиницях, в яких виміряна та змінна У. Відповідні формули наведені нижче.

(для обчислення)

(12) (для інтерпретації).

Значення

,часто званекоефіцієнтом детермінації,говорить про те, який відсоток варіаціїУпояснюється поведінкоюX.

Довірчі інтервали та перевірка гіпотез для коефіцієнта регресії пов'язані з певними припущеннями щодо аналізованої сукупності даних, які повинні гарантувати, що вона складається з незалежних спостережень, що характеризуються лінійним взаємозв'язком з рівною варіацією та приблизно нормально розподіленою випадковістю. По-перше, ці дані повинні бути довільною вибіркою з цікавої для нас генеральної сукупності. По-друге,лінійна модельпоказує, що значенняУвизначається взаємозв'язком у генеральній сукупності плюс випадкова помилка, що має нормальний розподіл. Існують параметри генеральної сукупності, що відповідають нахилу та зсуву лінії найменших квадратів, побудованої на даних вибірки:

деεмає нормальний розподіл із середнім значенням, рівним 0, і постійним стандартним відхиленнямσ.

Статистичні висновки (використання довірчих інтервалів та перевірки статистичних гіпотез) щодо коефіцієнтів лінії найменшихквадратів ґрунтуються, як завжди, на їх стандартних помилках і значеннях зt-таблиці дляп -2ступенів свободи.

Стандартна помилка коефіцієнта нахилу,

,вказує приблизну величину відхилення оцінки нахилу,b(коефіцієнт регресії, обчислений на основі даних вибірки ), від нахилу в генеральній сукупності,β, викликаного випадковим характером вибірки.Стандартна помилка зсуву,, вказує приблизно, наскільки далеко оцінка зсувуавіддалена від справжнього зсувуαв генеральній сукупності. Відповідні формули виглядають так:

стандартна помилка коефіцієнта регресіїb:

стандартна помилка зсуву:

.

Довірчий інтервал для нахилу в генеральній сукупності,β:

від

до.

Довірчий інтервал для зсуву в генеральній сукупності,α:

від

до.

Один із способів перевірки, чи є виявлена ​​взаємозв'язок міжXіУреальною або це просто випадковий збіг, полягає в порівнянніβіз заданим значеннямβ0= 0. Про значний зв'язок можна говорити в тому випадку, якщо0не потрапляє в довірчий інтервал, що базується наbтаSb,або якщо абсолютне значенняt=b/Sbперевершує відповіднеt-значение вt-таблиці.

---