Екстремальний експеримент - Студопедія
Завданням планування при екстремальному експерименті є мінімізація дослідів при знаходженні оптимальних умов. Наприклад, необхідно знайти температуру негріву заготовок та швидкість деформування, що забезпечують мінімальну собівартість поковки при гарячому ізотермічному штампуванні.
Найпростішим методом планування експерименту є проведення випробувань за всіляких поєднань факторів (спосіб перебору). Однак вже при двофакторному експерименті для отримання повної картини необхідне проведення великої кількості випробувань. Тому часто при вирішенні експериментальних завдань використовують наступний спосіб: змінюючи лише один фактор (решта залишаються постійними), знаходять приватний екстремум по цьому фактору; потім послідовно визначають такі екстремуми шляхом зміни другого, третього та наступних факторів. Процедура повторюється доти, доки не буде досягнуто оптимуму за всіма факторами (рис. 27).
Малюнок 27. Пошук оптимальної області шляхом послідовного визначення приватних оптимумів (штрихові лінії) та методом крутого сходження (штрих-пунктирні лінії); суцільними
показані лінії рівного рівня оптимізованої функції
Така схема призводить до значного зменшення кількості дослідів, але також не є оптимальною та іноді призводить до знаходження хибних екстремумів.
Характеристика мети при екстремальному експерименті, задана кількісно, називається параметром оптимізації. Параметр оптимізації є відгуком вплив факторів – незалежних змінних. Результати використовують для отримання математичної моделі - системи математичних співвідношень, що описують процес, що вивчається. У окремому випадку – це рівняння, яке зв'язує параметроптимізації із факторами. Таке рівняння називається також функцією відгуку.
Загалом функція відгуку може бути представлена виразом
деxi- незалежні змінні (чинники).
Функцію відгуку, якщо вона невідома з теорії, можна уявити, наприклад, поліномом виду
деi- Коефіцієнт регресії.
За результатами експерименту можна визначити лише вибіркові коефіцієнти регресіїbi, які є лише оцінками теоретичних коефіцієнтівi. На першому етапі для визначення напрямку руху до оптимуму та крутого сходження по поверхні відгуку функції відгуку виражають поліномом першого ступеня
Для визначення коефіцієнтів цього рівняння треба реалізувати факторний експеримент типу 2k. Плани такого експерименту називають планами першого порядку. Круте сходження закінчують після досягнення області оптимуму, яку найчастіше вдається описати поліномом другого ступеня:
Щоб визначити всі коефіцієнти цього рівняння, необхідно реалізувати план експерименту, в якому кожен фактор варіюється не менше, ніж на трьох рівнях. Такі плани називають планами другого порядку.
Отже, стратегія методу щодо поверхні відгуку з метою знаходження екстремуму полягає в наступному. На основі малої серії дослідів є локальний опис поверхні відгуку в деякій вихідній області за допомогою моделі лінійного вигляду. У центрі області розраховується лінійне наближення градієнта, й у напрямі градієнта, т. е. у напрямі якнайшвидшого підйому (крутого сходження), проводяться досліди досягнення стаціонарної області, у якій розташований екстремум. Якщо знайдене лінійне наближення градієнта для центру області суттєво відрізняється від значенняградієнта в деякій точці у напрямку руху, то можна знайти новий опис поверхні відгуку за допомогою поліномів першого порядку в околиці цієї точки та розрахувати нове значення градієнта. У стаціонарній області лінійна модель виявляється вже не адекватною, і для опису поверхні відгуку в цій галузі, як правило, використовуються поліноми другого і навіть третього ступеня. У стаціонарній області потрібно провести більшу кількість експериментів, тому що тут необхідно отримати якомога точніше опис.
деi, j- одиничні вектори по осях зміннихx.
Цей вектор перпендикулярний поверхні рівного рівняy=const і вказує напрямок якнайшвидшого підйому (крутого сходження). Якщо модель лінійна, то коефіцієнтиbiє координатами вектор-градієнта. Якщо змінювати чинники пропорційно знайденим оцінкам цих коефіцієнтів, то реалізується рух у напрямі якнайшвидшого наближення до оптимуму.
Компоненти градієнта експериментально отриманої лінійної моделі залежать від основного рівня та інтервалів змінних змін.
Повний факторний експеримент
Розв'язання задачі оптимізації починають із вибору області експерименту на основі апріорної інформації. В області експерименту встановлюють основні рівні та інтервали варіювання факторів. Основним, чи нульовим, рівнем чинника називається його значення, прийняте вихідне у плані експерименту. Побудова плану експерименту полягає у виборі точок, симетричних щодо вихідної точки.
Інтервалом варіювання фактора називається число, додавання якого до основного рівня дає верхній рівень фактора (відповідно нижній). Рівні факторів кодують:
де - Натуральне значення фактора; інтервалваріювання (частіше – половина інтервалу).
Експеримент, у якому реалізуються всі поєднання рівнів, називається повним факторним експериментом. Якщо кількість рівнівm, а факторів – k, то повна кількість дослідів (без урахування дублюючих, або паралельних дослідів)
При лінійній моделіN=2k.
Факторний експеримент здійснюють за допомогою матриці планування. Наприклад, для двох факторів матрицю планування показано у вигляді табл. 1. Число рядків у матриці дорівнює числу дослідів. Кодовані значення факторів репрезентують скорочено: + або -.
Матриця планування при числі факторів 2
| № досвіду | x1 | x2 | у |
| - + - + | - - + + | у1 у2 у3 у4 |
Для руху по градієнту спочатку потрібна лінійна модель. Приk=2
Значення коефіцієнтів у цьому рівнянні визначають значення значень функції відгуку. Їх три, а дослідів – 4. Різниця між числом дослідів та числом коефіцієнтів моделі називається числом ступенів свободи
Число ступенів свободи може бути використане для перевірки адекватності моделі.
Розмір і знак коефіцієнта у рівнянні регресії свідчить про внесок цього чинника у загальний результат.
Лінійним називається ефект, що характеризує лінійну залежність параметра оптимізації відповідного фактора. Ефект спільного впливу кількох факторів називається ефектом взаємодії. З урахуванням ефекту взаємодії при числі факторівk=2(табл. 2):
Тутх0 – стовпець фіктивної змінної. Він вводиться з метою оцінки величиниb0.
Матриця планування при врахуванні ефекту взаємодії
| № досвіду | х0 | х1 | х2 | х1х2 | у |
| + + + + | - + - + | - - + + | + - - + | у1у2у3у4 |
Для побудови плану матриць з великою кількістю факторів можна скористатися наступним прийомом. У першому стовпці х знаки змінюються по черзі, у другому – через 2, у третьому – через 4 і т.д.
Дробний факторний експеримент
Для скорочення числа експериментів у лінійній моделі типу 2 2 можна прийнятиb12=0, а стовпець матриціх1х2 використовувати для третього факторах3. Тоді
Для визначення коефіцієнтів цього рівняння достатньо провести 4 досліди замість 8 у повному факторному експерименті типу 2 3 . План експерименту, що передбачає реалізацію половини дослідів, називається напівреплікою. Дробні репліки позначають 2k-р, дер- число лінійних ефектів, прирівняних до ефектів взаємодії. Прир=2, отримують ¼-репліку,р=3 – 1/8-репліку. Репліки, що використовуються для скорочення дослідів у 2mразів, називаються регулярними.
У зв'язку з тим, що у дробових репліках частина взаємодій заміна новими чинниками, знайдені коефіцієнти рівняння регресії будуть спільними оцінками лінійних ефектів та ефектів взаємодії. Такі оцінки називаються змішаними. Лінійні ефекти рекомендується змішувати з тими взаємодіями, які згідно з апріорною інформацією незначні.
Число незмішаних ефектів у дробовій репліці називається її роздільною здатністю.
Часто доводиться вирішувати завдання, в яких заздалегідь можна вважати, що ефекти взаємодії, хоч і малі в порівнянні з лінійними, але все ж таки не рівні нулю. У таких випадках необхідно заздалегідьвизначити, які коефіцієнти є змішаними оцінками. Тоді в залежності від умов поставленого завдання підбирається така дробова репліка, за допомогою якої можна отримати максимальну інформацію з експерименту.
Пряма оцінка роздільної здатності дробової репліки утруднена. Тому дробові репліки задають за допомогою співвідношень, що генерують. Генеруючим називається співвідношення, яке показує, яке із взаємодій прийнято незначним і замінено новим фактором (х3=х1х2, наприклад).
Дробна репліка, отримана заміною всіх ефектів взаємодії новими чинниками, називається насиченою. Адекватність моделі у разі перевірити неможливо, т.к. число ступенів свободи дорівнює нулю
Властивості матриць повного та дробового факторного
1.Симетричність щодо центру експерименту – алгебраїчна сума елементів стовпця кожного фактора дорівнює нулю:
де?- номер досвіду;i– номер фактора.
2.Властивість нормування: сума квадратів елементів кожного стовпця дорівнює числу дослідів:
3.Властивість ортогональності – сума рядкових творів елементів будь-яких двох стовпців дорівнює нулю:
деi,l– номери факторів,il.
Ортогональність матриці дозволяє оцінити всі коефіцієнти рівняння регресії незалежно один від одного. Якщо будь-який коефіцієнт регресії виявиться незначним, його можна відкинути, не перераховуючи інших.
4.Властивість ротатабельності: точки в матриці планування підбирають так, що математична модель, отримана за результатами експерименту, здатна передбачати значення параметра оптимізації з однаковою точністю у будь-яких напрямках на рівних відстанях від центру експерименту.
Чи не знайшли те, що шукали?Скористайтеся пошуком:
Вимкніть adBlock! і оновіть сторінку (F5)дуже потрібно