Екз ДК ФН11 2013 - 45-52

СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ

45. Системи ду. Завдання Коші та теорема Коші сущ-я та ед-ти рішення нормальної системи (формулювання)+приклад

51.Метод варіації постійних Лагранжа для вирішення неоднорідних систем(н=2)+приклад

46.Связь м/д нормальними системами ду і ду вищих порядків. Опишіть алгоритм відомості

рівняння до системи та системи до ур-ю.+приклад

49.Формула Остроградського-Ліувіля для систем однорідних ЛДУ(н=2)+приклад

47. Перші інтеграли системи та зниження її порядка.

Інтегровані комбінації. Симетрична форма запису.

Симетрична форма системи диференціальних рівнянь

Для перебування перших інтегралів іноді зручно записати вихідну систему т.зв.симетричній формі:

Тут передбачається, що функціїf1,f2, .fnу знаменниках не дорівнюють нулю в області визначенняD∈ ℜn. У такому записі деякі пари відносин можуть допускати інтегрування, наприклад, шляхом поділу змінних. Інший спосіб вирішення системи у симетричній формі полягає у використанні властивості рівних дробів

Розв'язати систему рівнянь

Запишемо систему у вигляді Склавши обидва рівняння, отримуємо Звідси знаходимо перший інтеграл системи: деC1 - довільне число, що не дорівнює нулю. Виразимо рішенняx(t),y(t) у явному вигляді. У перше рівняння підставимо виразy = C1/xі проінтегруємо:

деC2 ≠ 0 – довільна постійна. Тепер знайдемо вираз дляy(t):

Остаточнийвідповідь:

48.Дайте опр-е загального рішення системи ду.Сф-те док-те т. про структуру загального рішення однорідної системи. Фундаментальна матриця системи + приклад

Загальне рішення (8) на відрізку з безперервними на цьому відрізку коефіцієнтами і правими частинами дорівнює сумі загального рішення відповідної однорідної системи (9) і приватного рішення неоднорідної системи (8). (, Тоді (6) можна переписати у вигляді:, (8) якщото (9) ))

Розглянемо лінійну однорідну систему звичайних диференціальних рівнянь виду

яка у векторній формі записується у вигляді

Тут

Матриця Φ, стовпцями якої є n лінійно незалежних на [a, b] рішень Y1(x), Y2(x), . Yn(x) однорідної лінійної системи Y' = A(x)Y називаєтьсяфундаментальною матрицею рішень системи:

Фундаментальна матриця рішень однорідної лінійної системи Y' = A(x)Y задовольняє матричного рівняння Φ' = A(x)Φ.

--------------- Квадратна матриця Φ(t), стовпці якої утворені лінійно незалежними рішеннями x1(t), x2(t), . xn(t) називається фундаментальною матрицею системи рівнянь. Вона має такий вигляд:

де xij(t) – координати лінійно незалежних векторних рішень x1(t), x2(t), . xn(t). Зауважимо, фундаментальна матриця Φ(t) є невиродженою, тобто. для неї завжди існує зворотна матриця -1(t). Оскільки фундаментальна матриця містить n лінійно незалежних рішень, то при її підстановці в однорідну систему рівнянь отримуємо тотожність

Помножимо це рівняння праворуч на зворотну функцію Φ −1(t):

Отримане співвідношення однозначно визначає однорідну систему рівнянь якщо задана фундаментальна матриця. Загальне рішення однорідної системи виражається через фундаментальну матрицю як

де C −n-мірний вектор, що складається з довільних чисел.

Скласти лінійну систему рівнянь, що має розв'язання

У задачі задана фундаментальна матриця системи:

Обчислимо зворотну матрицю Φ−1(t):

Тут через Cij позначено матрицю додатків алгебри до елементів фундаментальної матриці Φ(t). Матриця коефіцієнтів системи рівнянь перебуває за формулою

Похідна фундаментальної матриці (вона обчислюється поелементно) дорівнює

Отже, система рівнянь, розв'язання якої дорівнюють x1(t), x2(t), записується у вигляді

50.Дайте опр-е загального рішення системи ду.Сф-те док-те т. про структуру

загального рішення неоднорідної системи.

52.Системи ОЛДУ з постійними коефіцієнтами. Хар. ур-е.Побудова загального реш (випадок різних діє коріння) + приклади

---